Šedá atmosféra - Grey atmosphere - Wikipedia

The Šedá atmosféra (nebo šedá) je užitečná sada aproximací prováděných pro aplikace radiačního přenosu ve studiích hvězdných atmosfér na základě zjednodušení, že absorpční koeficient ${ displaystyle alpha _ { nu}}$ hmoty v atmosféře je konstantní pro všechny frekvence dopadajícího záření.

aplikace

Aplikace aproximace šedé atmosféry je primární metodou, kterou astronomové používají ke stanovení teploty a základních radiačních vlastností astronomických objektů včetně Slunce, planet s atmosférou, jiných hvězd a mezihvězdných mraků plynu a prachu. Ačkoli model vykazuje dobrou korelaci s pozorováním, odchyluje se od pozorovacích výsledků, protože skutečné atmosféry nejsou šedé, např. absorpce záření je závislá na frekvenci.

Aproximace

Primární aproximace je předpoklad, že absorpční koeficient, obvykle reprezentovaný znakem ${ displaystyle alpha _ { nu}}$ , nemá žádnou závislost na frekvenci ${ displaystyle nu}$ pro frekvenční rozsah, ve kterém se pracuje, např. ${ displaystyle alpha _ { nu} longrightarrow alpha}$ .

Typicky se současně vytváří řada dalších předpokladů:

Atmosféra má a rovinně-paralelní atmosféra geometrie.
Atmosféra je v tepelné radiační rovnováze.

Tato sada předpokladů vede přímo k průměru intenzita a funkce zdroje je přímo ekvivalentní a černé tělo Planckova funkce teploty při tom optická hloubka.

Eddingtonovu aproximaci (viz další část) lze také použít volitelně k řešení zdrojové funkce. To značně zjednodušuje model bez výrazného zkreslení výsledků.

Odvození funkce zdroje pomocí Eddingtonovy aproximace

Odvození různých veličin z modelu šedé atmosféry zahrnuje řešení integro-diferenciální rovnice, jejíž přesné řešení je složité. Proto tato derivace využívá výhody zjednodušení známého jako Eddingtonova aproximace. Počínaje aplikací rovinného paralelního modelu si můžeme představit atmosférický model vytvořený z rovinných rovnoběžných vrstev naskládaných na sebe, kde vlastnosti jako teplota jsou v rovině konstantní. To znamená, že tyto parametry jsou funkcí fyzické hloubky ${ displaystyle z}$ , kde je směr kladný ${ displaystyle z}$ směřuje k horním vrstvám atmosféry. Z toho je snadno vidět paprskovou cestu ${ displaystyle ds}$ pod úhlem ${ displaystyle theta}$ k svislosti, je dán vztahem

${ displaystyle ds = { frac {dz} {cos theta}}}$

Nyní definujeme optickou hloubku jako

${ displaystyle d tau = - alfa ds}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je absorpční koeficient spojený s různými složkami atmosféry. Nyní se obrátíme k rovnici přenosu záření

${ displaystyle { frac {dI} {ds}} = j- alpha I}$

kde ${ displaystyle I}$ je celková specifická intenzita, ${ displaystyle j}$ je emisní koeficient. Po nahrazení ${ displaystyle ds}$ a dělení ${ displaystyle - alpha}$ my máme

${ displaystyle mu { frac {dI} {d tau}} = I-S}$

kde ${ displaystyle S}$ je takzvaná funkce celkového zdroje definovaná jako poměr mezi emisními a absorpčními koeficienty. Tuto diferenciální rovnici lze vyřešit vynásobením obou stran ${ displaystyle e ^ {- tau / mu}}$ , přepisující levou stranu jako ${ displaystyle { frac {d} {d tau}} (tj. ^ {- tau / mu})}$ a poté integrovat celou rovnici s ohledem na ${ displaystyle tau}$ . To dává řešení

${ displaystyle I ( tau, mu) = { frac {e ^ { frac { tau} { mu}}} { mu}} int _ { tau} ^ { infty} se ^ {- { frac { tau} { mu}}} d tau}$

kde jsme použili limity ${ displaystyle tau v [ tau, infty)}$ jak se integrujeme směrem ven z nějaké hloubky v atmosféře; proto ${ displaystyle mu v [0,1]}$ . I když jsme zanedbali frekvenční závislost parametrů, jako jsou ${ displaystyle S}$ , víme, že se jedná o funkci optické hloubky, proto k její integraci potřebujeme metodu pro odvození zdrojové funkce. Nyní definujeme některé důležité parametry, jako je hustota energie ${ displaystyle U}$ , celkový tok ${ displaystyle F}$ a radiační tlak ${ displaystyle P}$ jak následuje

${ displaystyle U = { frac {2 pi} {c}} int _ {- 1} ^ {+ 1} Id mu}$

${ displaystyle F = 2 pi int _ {- 1} ^ {+ 1} já mu d mu}$

${ displaystyle P = { frac {2 pi} {c}} int _ {- 1} ^ {+ 1} já mu ^ {2} d mu}$

Rovněž definujeme průměrnou specifickou intenzitu (zprůměrovanou na všech frekvencích) jako

${ displaystyle J = { frac {1} {2}} int _ {- 1} ^ {+ 1} Id mu}$

Okamžitě vidíme, že dělením rovnice radiačního přenosu 2 a integrací přes ${ displaystyle mu}$ , my máme

${ displaystyle { frac {1} {4 pi}} { frac {dF} {d tau}} = J-S}$

Navíc vynásobením stejné rovnice číslem ${ displaystyle { frac { mu} {2}}}$ a integrace w.r.t. ${ displaystyle mu}$ , my máme

${ displaystyle { frac {dP} {d tau}} = { frac {F} {c}}}$

Nahrazením průměrné specifické intenzity J do definice hustoty energie máme také následující vztah

${ displaystyle J = { frac {c} {4 pi}} U}$

Nyní je důležité si uvědomit, že celkový tok musí proto v atmosféře zůstat konstantní

${ displaystyle { frac {dF} {d tau}} = 0 iff J = S}$

Tento stav se nazývá radiační rovnováha. S využitím stálosti celkového toku se nyní integrujeme ${ displaystyle { frac {dP} {d tau}}}$ získat

${ displaystyle P = { frac {F} {c}} ( tau + kappa)}$

kde ${ displaystyle kappa}$ je konstanta integrace. Z termodynamiky víme, že pro izotropní plyn platí následující vztah

${ displaystyle P = { frac {1} {3}} U = { frac {4 pi} {3c}} J}$

kde jsme nahradili vztah mezi hustotou energie a průměrnou specifickou intenzitou odvozenou dříve. Ačkoli to může platit pro nižší hloubky ve hvězdné atmosféře, blízko povrchu to téměř jistě není. Eddingtonova aproximace však předpokládá, že to bude držet na všech úrovních v atmosféře. Nahrazením to v předchozí rovnici pro tlak dává

${ displaystyle J = { frac {3F} {4 pi}} ( tau + kappa)}$

a za podmínky radiační rovnováhy

${ displaystyle S = { frac {3F} {4 pi}} ( tau + kappa)}$

To znamená, že jsme vyřešili zdrojovou funkci s výjimkou konstanty integrace. Dosazení tohoto výsledku do řešení rovnice přenosu záření a integrace dává

${ displaystyle I ( tau = 0, mu) = { frac {3F} {4 pi}} { frac {e ^ { tau / mu}} { mu}} int _ {0 } ^ { infty} ( tau + kappa) e ^ {- tau / mu} d tau = { frac {3F} {4 pi}} ( mu + kappa)}$

Zde jsme nastavili spodní hranici ${ displaystyle tau}$ na nulu, což je hodnota optické hloubky na povrchu atmosféry. To by představovalo záření vycházející, řekněme, z povrchu Slunce. Nakonec to dosaďte do definice celkového toku a integrujte dává

${ displaystyle F = 2 pi int _ {0} ^ {+ 1} I mu d mu = { frac {3F} {2}} int _ {0} ^ {+ 1} ( mu ^ {2} + kappa mu) d mu = { frac {3F} {2}} ({ frac {1} {3}} + { frac { kappa} {2}})}}$

Proto, ${ displaystyle kappa = { frac {2} {3}}}$ a zdrojová funkce je dána

${ displaystyle S ( tau) = { frac {3F} {4 pi}} ( tau + { frac {2} {3}})}$

Teplotní roztok

Integrace prvního a druhého momentu rovnice radiačního přenosu, aplikace výše uvedeného vztahu a Limit dvou proudů aproximace vede k informacím o každém z vyšších momentů. První okamžik střední intenzity ${ displaystyle H}$ je konstantní bez ohledu na optická hloubka:

${ displaystyle H ( tau) = H}$

Druhý okamžik střední intenzity ${ displaystyle K}$ je pak dáno:

${ displaystyle K ( tau) = tau H + 2 / 3H = 1 / 3J ( tau)}$

Všimněte si, že Eddingtonova aproximace je přímým důsledkem těchto předpokladů.

Definování efektivní teploty ${ displaystyle T_ {eff}}$ pro Eddingtonův tok ${ displaystyle H}$ a použití Stefan-Boltzmann zákon, si uvědomil tento vztah mezi externě pozorovanou efektivní teplotou a vnitřní teplotou černého tělesa ${ displaystyle T}$ média.

${ displaystyle T ^ {4} = T_ {eff} ^ {4} { frac {3} {4}} vlevo ( tau + { frac {2} {3}} vpravo)}$

Výsledky řešení šedé atmosféry: Pozorovaná teplota ${ displaystyle T_ {eff}}$ je dobrým měřítkem skutečné teploty ${ displaystyle T}$ v optické hloubce ${ displaystyle tau = 2/3}$ a nejvyšší teplota atmosféry je ${ displaystyle 0,841T_ {eff}}$ .

Tato aproximace činí funkce zdroje lineární v optické hloubce.

Reference

Rybicki, George; Lightman, Alan (2004). Radiační procesy v astrofyzice. Wiley-VCH. ISBN 978-0-471-82759-7.