Graf zbarvení hra - Graph coloring game

The graf zbarvení hra je matematická hra související s teorie grafů. Problémy s barvením hry vznikly jako herně teoretické verze známých zbarvení grafu problémy. Ve hře omalovánky dva hráči používají danou sadu barev k vytvoření zbarvení a graf, podle konkrétních pravidel v závislosti na hře, kterou zvažujeme. Jeden hráč se snaží úspěšně dokončit vybarvení grafu, když se druhý pokusí mu zabránit v jeho dosažení.

Vrchol zbarvení hra

The vrchol zbarvení hra byl představen v roce 1981 Bramsem[1] a znovuobjeveno deset let poté Bodlaenderem.[2] Jeho pravidla jsou následující:

  1. Alice a Bob vybarvují vrcholy grafu G se sadou k barev.
  2. Alice a Bob se střídají, správně zbarvení nezbarvený vrchol (ve standardní verzi začíná Alice).
  3. Pokud vrchol proti není možné správně vybarvit (pro jakoukoli barvu proti má souseda barevného), pak vyhrává Bob.
  4. Pokud je graf úplně zbarvený, vyhrává Alice.

The barevné číslo hry grafu , označeno , je minimální počet barev potřebných k tomu, aby Alice vyhrála vrcholnou hru s barvami . Triviálně, pro každý graf , my máme , kde je chromatické číslo z a jeho maximum stupeň.[3]

Vztah k jiným pojmům

Acyklické zbarvení. Každý graf s acyklické chromatické číslo .[4]

Značkovací hra. Pro každý graf , , kde je hra zbarvení číslo z . Téměř každá známá horní hranice pro chromatický počet grafů hry se získává z hranic čísla zbarvení hry.

Omezení cyklu na hranách. Pokud každá hrana grafu patří nanejvýš cykly, pak .[5]

Třídy grafů

Pro třídu grafů označujeme nejmenší celé číslo tak, že každý graf z . Jinými slovy, je přesná horní mez pro chromatický počet grafů hry v této třídě. Tato hodnota je známá pro několik standardních tříd grafů a pro některé další omezená:

  • Lesy: .[6] Jsou známa jednoduchá kritéria pro určení barevného čísla hry lesa bez vrcholu stupně 3.[7] Zdá se obtížné určit herní chromatický počet lesů s vrcholy stupně 3, a to i pro lesy s maximálním stupněm 3.
  • Kaktusy: .[8]
  • Vnější rovinné grafy: .[9]
  • Rovinné grafy: .[10]
  • Rovinné grafy daného obvod: ,[11] , , .[12]
  • Toroidní mřížky: .[13]
  • Částečný k-stromy: .[14]
  • Intervalové grafy: , kde je pro graf o velikosti největší klika.[15]

Kartézské výrobky.Chromatické číslo hry kartézského produktu není omezen funkcí a . Zejména herní chromatické číslo jakéhokoli úplného bipartitního grafu se rovná 3, ale neexistuje žádná horní mez pro pro libovolné .[16]

  • Pro jednu hranu máme:[16]
  • Stromy:
  • Kola: -li [17]
  • Kompletní bipartitní grafy: -li [17]

Otevřené problémy

Tyto otázky jsou k tomuto datu stále otevřené.

Více barev pro Alici [18]
  • Předpokládejme, že Alice má vítěznou strategii pro hru omalování vrcholů v grafu G s k barvy. Má jeden pro k + 1 barvy?
    Dalo by se očekávat, že odpovědi budou „ano“, protože mít více barev se zdá Alici výhodou. Neexistuje však žádný důkaz, že toto tvrzení je pravdivé.
  • Existuje nějaká funkce F takové, že pokud má Alice v grafu vítěznou strategii hry s barvením vrcholů G s k barvy, pak má Alice vítěznou strategii G s f (k) ?
    Uvolnění předchozí otázky.
Vztahy s jinými pojmy [18]
  • Předpokládejme, že monotónní třída grafů (tj. Třída grafů uzavřená podgrafy) je ohraničená barevné číslo hry. Je pravda, že tato třída grafu je omezená hra zbarvení číslo  ?
  • Předpokládejme, že monotónní třída grafů (tj. Třída grafů uzavřená podgrafy) je ohraničená barevné číslo hry. Je pravda, že tato třída grafu je omezená arboricita  ?
  • Je pravda, že monotónní třída grafů ohraničené barevné číslo hry ohraničeno acyklické chromatické číslo  ?
Snížení maximálního stupně [7]
  • Dohad: Je je les, existuje takhle a .
  • Nechat být třída grafů taková, že pro všechny , tady existuje takhle a . V čem jsou rodiny grafů  ?
Hyperkrychle[16]
  • Je to pravda? pro jakoukoli hyperkrychli  ?
    Je známo, že to platí pro .[16]

Omalovánky hran

The hrana zbarvení hra, představili Lam, Shiu a Zu,[19] je podobná hře na obarvení vrcholů, kromě toho, že Alice a Bob vytvoří vlastní zbarvení hran místo správného zbarvení vrcholů. Jeho pravidla jsou následující:

  1. Alice a Bob zbarvují okraje grafem G se sadou k barev.
  2. Alice a Bob se střídají, správně zbarvení nezbarvený okraj (ve standardní verzi začíná Alice).
  3. Pokud hrana E není možné správně vybarvit (pro jakoukoli barvu E sousedí s hranou, která je ním zbarvena), pak vyhrává Bob.
  4. Pokud je graf úplně zbarvený do okraje, vyhrává Alice.

I když tuto hru lze považovat za konkrétní případ vrchol zbarvení hra na spojnicové grafy, je ve vědecké literatuře považován hlavně za samostatnou hru. The herní chromatický index grafu , označeno , je minimální počet barev potřebných k tomu, aby Alice tuto hru vyhrála .

Obecný případ

Pro každý graf G, . Existují grafy dosahující těchto hranic, ale všechny grafy, které známe, že dosahují této horní hranice, mají malý maximální stupeň.[19] Existují grafy s pro libovolné velké hodnoty .[20]

Dohad. Tady je takový, že pro libovolný graf , my máme .
Tato domněnka je pravdivá, když je dostatečně velký ve srovnání s počtem vrcholů v .[20]

  • Arboricita. Nechat být arboricita grafu . Každý graf s maximem stupeň .[21]

Třídy grafů

Pro třídu grafů označujeme nejmenší celé číslo tak, že každý graf z . Jinými slovy, je přesná horní hranice pro herní chromatický index grafů v této třídě. Tato hodnota je známá pro několik standardních tříd grafů a pro některé další omezená:

  • Kola: a když .[19]
  • Lesy  : když , a .[22]
    Navíc, pokud každý strom v lese z se získává rozdělením z a housenka nebo potom neobsahuje žádné dva sousední vrcholy se stupněm 4 .[23]

Otevřené problémy

Horní hranice. Existuje konstanta takhle pro každý graf ? Pokud je to pravda, je dost ?[19]

Domněnky na velkých minimálních stupních. Existují a celé číslo takový, že jakýkoli graf s splňuje . [20]

Incident zbarvení hra

The výskyt zbarvení hra je hra na barvení grafů, kterou představil Andres,[24] a podobně jako hra o obarvení vrcholů, kromě Alice a Boba, které vytvářejí vlastní výskyt zbarvení místo správného zbarvení vrcholů. Jeho pravidla jsou následující:

  1. Alice a Bob zbarvují výskyty grafu G se sadou k barev.
  2. Alice a Bob se střídají a správně vybarvují nebarvený výskyt (ve standardní verzi začíná Alice).
  3. Pokud výskyt i není možné správně vybarvit (pro jakoukoli barvu i sousedí s incidentem barevným), pak vyhrává Bob.
  4. Pokud jsou všechny výskyty správně vybarveny, vyhrává Alice.

The chromatické číslo dopadající hry grafu , označeno , je minimální počet barev potřebných k tomu, aby Alice tuto hru vyhrála .

Pro každý graf s maximálním stupněm , my máme .[24]

Vztahy s jinými pojmy

  • (inzerát)-Rozklad. Toto je nejlepší horní mez, kterou známe pro obecný případ. Pokud jsou okraje grafu lze rozdělit na dvě sady, z nichž jedna vyvolává graf s arboricita , druhý vyvolává graf s maximálním stupněm , pak .[25]
    Pokud navíc , pak .[25]
  • Degenerace. Li je k-degenerovaný graf s maximem stupeň , pak . Navíc, když a když .[24]

Třídy grafů

Pro třídu grafů označujeme nejmenší celé číslo tak, že každý graf z .

  • Cesty : Pro , .
  • Cykly : Pro , .[26]
  • Hvězdy : Pro , .[24]
  • Kola : Pro , . Pro , .[24]
  • Podgrafy Kola : Pro , pokud je podgrafem mít jako podgraf .[27]

Otevřené problémy

  • Je horní mez těsný pro každou hodnotu  ?[24]
  • Je chromatické číslo incidenční hry monotónním parametrem (tj. Je pro graf alespoň stejně velké) G jako pro jakýkoli podgraf z G) ?[24]

Poznámky

  1. ^ Gardner (1981)
  2. ^ Bodlaender (1991)
  3. ^ S méně barvami, než je chromatický počet, není správné zbarvení G a tak Alice nemůže vyhrát. S více barvami, než je maximální stupeň, je vždy k dispozici barva pro vybarvení vrcholu, takže Alice nemůže ztratit.
  4. ^ Dinski & Zhu (1999)
  5. ^ Junosza-Szaniawski & Rożej (2010)
  6. ^ Faigle a kol. (1993) a předpokládá Junosza-Szaniawski & Rożej (2010)
  7. ^ A b Dunn a kol. (2014)
  8. ^ Sidorowicz (2007) a předpokládá Junosza-Szaniawski & Rożej (2010)
  9. ^ Guan & Zhu (1999)
  10. ^ Horní hranice Zhu (2008), čímž se zlepšila předchozí hranice 33 palců Kierstead & Trotter (1994), 30 předpokládá Dinski & Zhu (1999), 19 palců Zhu (1999) a 18 palců Kierstead (2000). Dolní mezní hodnota Kierstead & Trotter (1994). Podívejte se na průzkum věnovaný barevnému počtu planárních grafů ve hře Bartnicki a kol. (2007).
  11. ^ Sekigushi (2014)
  12. ^ On a kol. (2002)
  13. ^ Raspaud & Wu (2009)
  14. ^ Zhu (2000)
  15. ^ Faigle a kol. (1993)
  16. ^ A b C d Peterin (2007)
  17. ^ A b C Sia (2009)
  18. ^ A b Zhu (1999)
  19. ^ A b C d Lam, Shiu a Xu (1999)
  20. ^ A b C Beveridge a kol. (2008)
  21. ^ Bartnicki & Grytczuk (2008), zlepšení výsledků na k-degenerovat grafy v Cai & Zhu (2001)
  22. ^ Horní mez Δ + 2 o Lam, Shiu a Xu (1999), poté vázáno na Δ + 1 pomocí Erdös a kol. (2004) pro případy Δ = 3 a Δ≥6 a do Andres (2006) pro případ Δ = 5.
  23. ^ Podmínky pro lesy s Δ = 4 jsou v Chan & Nong (2014)
  24. ^ A b C d E F G Andres (2009a), viz také erratum v Andres (2009b)
  25. ^ A b Charpentier & Sopena (2014), rozšiřující výsledky Charpentier & Sopena (2013).
  26. ^ Kim (2011), zlepšení podobného výsledku pro k ≥ 7 v Andres (2009a) (viz také erratum v Andres (2009b) )
  27. ^ Kim (2011)

Odkazy (chronologické pořadí)