Gossensův druhý zákon - Gossens second law - Wikipedia

Gossenův druhý „zákon“, pojmenovaný pro Hermann Heinrich Gossen (1810–1858), je tvrzení, že hospodářský agent rozdělí své výdaje tak, aby poměr mezní užitečnost každého dobrý nebo servis jeho cena (mezní výdaje nutné k jeho pořízení) se rovná ceně za každý jiný výrobek nebo službu. Formálně,

{ displaystyle { frac { částečné U / částečné x_ {i}} {p_ {i}}} = { frac { částečné U / částečné x_ {j}} {p_ {j}}} ~ forall left (i, j right)}

kde

${ displaystyle U}$ je nástroj
${ displaystyle x_ {i}}$ je množství ${ displaystyle i}$ - dobré zboží nebo služba
${ displaystyle p_ {i}}$ je cena ${ displaystyle i}$ - dobré zboží nebo služba

Neformální odvození

Představte si, že agent utratil peníze za různé druhy zboží nebo služeb. Pokud poslední měnová jednotka utracená za zboží nebo služby jednoho druhu koupila množství za méně mezní užitečnost než ta, která by byla spojena s množstvím jiného druhu, které by bylo možné za peníze koupit, pak by agent byl lépe místo toho dokoupit další zboží nebo službu. Za předpokladu, že zboží a služby jsou neustále dělitelné, je jediný způsob, jak je možné, že mezní výdaje na jeden výrobek nebo službu by neměly přinést větší užitek než mezní výdaje na druhé (nebo naopak) je, pokud výnosy z mezních výdajů rovnat se nástroj.

Formální odvození

Předpokládejme, že užitek, zboží a služby mají požadované vlastnosti, aby to ${ displaystyle částečné U / částečné x_ {i}}$ je dobře definované za každé zboží nebo službu. Agent poté optimalizuje

{ displaystyle U left (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n} right)}

podléhá a rozpočtové omezení

{ displaystyle W geq sum _ {i = 1} ^ {n} vlevo (p_ {i} cdot x_ {i} vpravo)}

kde

${ displaystyle W}$ je celková dostupná částka peněz

Pomocí metody Lagrangeovy multiplikátory, jeden vytvoří funkci

{ displaystyle { mathcal {L}} vlevo (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}, lambda vpravo) = U vlevo (x_ {1}, x_ {2} , dots, x_ {n} right) + lambda cdot left [W- sum _ {i = 1} ^ {n} left (p_ {i} cdot x_ {i} right) že jo]}

a najde podmínky prvního řádu pro optimalizaci jako

{ displaystyle { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné lambda}} = 0}

(což jednoduše znamená, že všechny ${ displaystyle W}$ bude vynaloženo) a

{ displaystyle { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné x_ {i}}} = 0 ~~ pro všechny i}

aby

{ displaystyle { frac { částečné U} { částečné x_ {i}}} - lambda cdot p_ {i} = 0 ~~ celkem i}

což je algebraicky ekvivalentní

{ displaystyle { frac { částečné U / částečné x_ {i}} {p_ {i}}} = lambda ~~ celkem i}

Protože každý takový poměr se rovná ${ displaystyle lambda}$ , jsou všechny poměry stejné:

{ displaystyle { frac { částečné U / částečné x_ {i}} {p_ {i}}} = { frac { částečné U / částečné x_ {j}} {p_ {j}}} ~ forall left (i, j right)}

(Všimněte si, že stejně jako u jakékoli maximalizace pomocí podmínek prvního řádu budou rovnice platit pouze v případě, že pomocná funkce splňuje specifické požadavky na konkávnost a nemá maxima na okrajích množiny, nad nimiž se maximalizuje.)

Viz také

Reference

Gossen, Hermann Heinrich; Die Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs und der daraus fließenden Regeln für menschliches Handeln (1854). Přeloženo do angličtiny jako Zákony mezilidských vztahů a z nich odvozená pravidla lidského jednání (1983) MIT Press, ISBN 0-262-07090-1.