Konstanta Golomb – Dickman - Golomb–Dickman constant

v matematika, Konstanta Golomb – Dickman vzniká v teorii náhodné obměny a v teorie čísel. Jeho hodnota je

${displaystyle lambda = 0,62432998854355087099293638310083724dots}$ (sekvence A084945 v OEIS )

Není známo, zda je tato konstanta racionální nebo iracionální.^[1]

Definice

Nechat A_n být průměr - převzato všemi obměny sady velikosti n - o délce nejdelší cyklus v každé permutaci. Pak je konstanta Golomb – Dickman

${displaystyle lambda = lim _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {n}}.}$

V jazyce teorie pravděpodobnosti, ${displaystyle lambda n}$ je asymptoticky očekávaný délka nejdelšího cyklu v a rovnoměrně rozloženo náhodná obměna sady velikosti n.

V teorii čísel se konstanta Golomb – Dickman objevuje v souvislosti s průměrnou velikostí největší hlavní faktor celého čísla. Přesněji,

${displaystyle lambda = lim _ {n o infty} {frac {1} {n}} součet _ {k = 2} ^ {n} {frac {log (P_ {1} (k))} {log (k) }},}$

kde ${displaystyle P_ {1} (k)}$ je největším hlavním faktorem k. Takže když k je d potom celé číslo ${displaystyle lambda d}$ je asymptotický průměrný počet číslic největší hlavní faktor z k.

Konstanta Golomb – Dickman se v teorii čísel objevuje jiným způsobem. Jaká je pravděpodobnost, že druhý největší primární faktor n je menší než druhá odmocnina největšího primárního faktoru n? Asymptoticky tato pravděpodobnost je ${displaystyle lambda}$.Přesněji,

${displaystyle lambda = lim _ {n o infty} {ext {Prob}} left {P_ {2} (n) leq {sqrt {P_ {1} (n)}} ight}}$

kde ${displaystyle P_ {2} (n)}$ je druhým největším hlavním faktorem n.

Golomb-Dickmanova konstanta také vzniká, když vezmeme v úvahu průměrnou délku největšího cyklu jakékoli funkce z konečné množiny k sobě. Li X je konečná množina, pokud opakovaně použijeme funkci F: X → X na jakýkoli prvek X této sady nakonec vstoupí do cyklu, což pro některé znamená k my máme ${displaystyle f ^ {n + k} (x) = f ^ {n} (x)}$ pro dostatečně velké n; nejmenší k s touto vlastností je délka cyklu. Nechat b_n být průměrem převzatým ze všech funkcí ze sady velikostí n sama sebe o délce největšího cyklu. Pak Purdom a Williams^[2] dokázal to

${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {b_ {n}} {sqrt {n}}} = {sqrt {frac {pi} {2}}} lambda.}$

Vzorce

Existuje několik výrazů pro ${displaystyle lambda}$. Tyto zahrnují:

${displaystyle lambda = int _ {0} ^ {1} e ^ {mathrm {Li} (t)}, dt}$

kde ${displaystyle mathrm {Li} (t)}$ je logaritmický integrál,

${displaystyle lambda = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- t-E_ {1} (t)}, dt}$

kde ${displaystyle E_ {1} (t)}$ je exponenciální integrál, a

${displaystyle lambda = int _ {0} ^ {infty} {frac {ho (t)} {t + 2}}, dt}$

a

${displaystyle lambda = int _ {0} ^ {infty} {frac {ho (t)} {(t + 1) ^ {2}}}, dt}$

kde ${displaystyle ho (t)}$ je Dickmanova funkce.

Viz také

• Náhodná permutace
• Statistiky náhodné permutace

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Golomb-Dickman Constant“. MathWorld.
• OEIS posloupnost A084945 (desítkové rozšíření Golomb-Dickmanovy konstanty)
• Finch, Steven R. (2003). Matematické konstanty. Cambridge University Press. str.284 –286. ISBN  0-521-81805-2.

Reference