Věta Gisin – Hughston – Jozsa – Wootters - Gisin–Hughston–Jozsa–Wootters theorem

v teorie kvantové informace a kvantová optika, Gisin – Hughston – Jozsa – Wootters (GHJW) teorém je výsledkem realizace smíšeného stavu kvantového systému jako souboru čistých kvantových stavů a ​​vztahu mezi odpovídajícími očištěními operátory hustoty. Věta je pojmenována podle fyziků a matematiků Nicolas Gisin,^[1] Lane P. Hughston, Richard Jozsa a William Wootters,^[2] ačkoli hodně z toho bylo založeno před desítkami let dříve Erwin Schrödinger.^[3] Výsledek našel nezávisle také Nicolas Hadjisavvas na základě práce Ed Jaynes,^[4][5] zatímco jeho významná část byla rovněž nezávisle objevena N. David Mermin.^[6] Díky své komplikované historii je také známý jako Věta o HJW a Schrödingerova – HJW věta.

Čištění smíšeného kvantového stavu

Zvažte smíšený stav ${ displaystyle rho = součet _ {i} p_ {i} | phi _ {i} rangle langle phi _ {i} |}$ systému ${ displaystyle S}$, kde státy ${ displaystyle | phi _ {i} rangle}$ nepředpokládá se, že jsou vzájemně kolmé. Můžeme přidat pomocný prostor ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {A}}$ na ortonormálním základě ${ displaystyle {| a_ {i} rangle }}$, pak smíšený stav lze získat jako operátor se sníženou hustotou z čistého bipartitního stavu

${ displaystyle | Psi _ {SA} rangle = součet _ {i} { sqrt {p_ {i}}} | phi _ {i} rangle | a_ {i} rangle.}$

Přesněji, ${ displaystyle rho = mathrm {Tr} _ {A} | Psi _ {SA} rangle langle Psi _ {SA} |}$. Stát ${ displaystyle | Psi _ {SA} rangle}$ se tedy nazývá očištění ${ displaystyle rho}$. Protože pomocný prostor a základ lze zvolit libovolně, není čištění smíšeného stavu jedinečné; ve skutečnosti existuje nekonečně mnoho očištění daného smíšeného stavu.

GHJW věta

Zvažte smíšený kvantový stav ${ displaystyle rho}$ se dvěma různými realizacemi jako soubor čistých států jako ${ displaystyle rho = součet _ {i} p_ {i} | phi _ {i} rangle langle phi _ {i} |}$ a ${ displaystyle rho = součet _ {j} q_ {j} | varphi _ {j} rangle langle varphi _ {j} |}$. Tady oba ${ displaystyle | phi _ {i} rangle}$a ${ displaystyle | varphi _ {j} rangle}$ nepředpokládá se, že jsou vzájemně kolmé. Budou dvě odpovídající čištění smíšeného stavu ${ displaystyle rho}$ čtení takto:

Čištění 1: ${ displaystyle | Psi _ {SA} ^ {1} rangle = sum _ {i} { sqrt {p_ {i}}} | phi _ {i} rangle | a_ {i} rangle}$;

Čištění 2: ${ displaystyle | Psi _ {SA} ^ {2} rangle = sum _ {j} { sqrt {q_ {j}}} | varphi _ {j} rangle | b_ {j} rangle}$.

Soupravy ${ displaystyle {| a_ {i} rangle }}$a ${ displaystyle {| b_ {j} rangle }}$ jsou dvě sbírky ortonormálních bází příslušných pomocných prostorů. Tyto dvě čištění se liší pouze jednotnou transformací působící na pomocný prostor, tj. Existuje jednotná matice ${ displaystyle U_ {A}}$takhle ${ displaystyle | Psi _ {SA} ^ {1} rangle = I otimes U_ {A} | Psi _ {SA} ^ {2} rangle}$.^[7] Proto, ${ displaystyle | Psi _ {SA} ^ {1} rangle = sum _ {j} { sqrt {q_ {j}}} | varphi _ {i} rangle otimes U_ {A} | b_ {j} rangle}$, což znamená, že můžeme realizovat různé soubory smíšeného stavu pouhým výběrem měřit různé pozorovatelnosti jedné dané očisty.

Reference