Zobecněný model Maxwell - Generalized Maxwell model

Schéma modelu Maxwell – Wiechert

The Zobecněný model Maxwell také známý jako Maxwell – Wiechertův model (po James Clerk Maxwell a E. Wiechert^[1]^[2]) je nejobecnější formou lineárního modelu pro viskoelasticity. V tomto modelu několik Maxwellovy prvky jsou sestaveny paralelně. Bere v úvahu, že relaxace nenastává najednou, ale v několika časech. Vzhledem k přítomnosti molekulárních segmentů různých délek, přičemž ty kratší přispívají méně než ty delší, existuje různá distribuce času. Wiechertův model to ukazuje tím, že má tolik prvků Maxwell s pružinou, které jsou nezbytné pro přesnou reprezentaci distribuce. Obrázek vpravo ukazuje zobecněný Wiechertův model.^[3]^[4]

Obecný vzorový formulář

Pevné látky

Dáno ${displaystyle N + 1}$ prvky s moduly ${displaystyle E_ {i}}$ viskozity ${displaystyle eta _ {i}}$ a relaxační časy ${displaystyle au _ {i} = {frac {eta _ {i}} {E_ {i}}}}$

Obecný tvar modelu pro pevné látky je dán vztahem^{[Citace je zapotřebí ]}:

Obecný Maxwell Solid Model (1)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N } {left ({prod _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {částečné ^ {n} {sigma}} {částečné {t} ^ {n}}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle E_ {0} epsilon +}$ ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N } {left ({left ({E_ {0} + sum _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({prod _ {kin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) ... }} ight) {frac {částečné ^ {n} {epsilon}} {částečné {t} ^ {n}}}}}$

To lze snáze pochopit zobrazením modelu v mírně rozšířenější podobě:

Obecný Maxwell Solid Model (2)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight)} {frac {částečné {sigma}} {částečné {t}}} +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {au _ {i} au _ {j}} }ight )}} ight)} {frac {částečné ^ {2} {sigma}} {částečné {t} ^ {2}}}}$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N -left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({prod _ {jin left {{ i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {částečné ^ {n} {sigma}} {částečné {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight) {frac {částečné ^ {N} {sigma}} {částečné {t} ^ {N}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle E_ {0} epsilon +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N} {left ({E_ {0} + E_ {i}} ight) au _ {i}}} ight)} {frac {částečné {epsilon} } {částečné {t}}} +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {left ({E_ {0} + E_ {i} + E_ {j}} ight) au _ {i} au _ {j}}} ight)}} ight)} {frac {částečné ^ {2} {epsilon}} {částečné {t} ^ {2}}}}$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N -left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({left ({E_ {0} + součet _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({prod _ {kin left {{i_ {1} ,. .., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {částečné ^ {n} {epsilon}} {částečné {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({E_ {0} + sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {j}} ight) left ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight) {frac {částečné ^ {N} {epsilon}} {částečné {t} ^ {N}}}}$

Příklad: standardní lineární objemový model

Podle výše uvedeného modelu s ${displaystyle N + 1 = 2}$ prvky poskytuje standardní lineární objemový model:

Standardní lineární objemový model (3)

${displaystyle sigma + au _ {1} {frac {částečné {sigma}} {částečné {t}}} = E_ {0} epsilon + au _ {1} vlevo ({E_ {0} + E_ {1}} vpravo ) {frac {částečné {epsilon}} {částečné {t}}}}$

Kapaliny

Dáno ${displaystyle N + 1}$ prvky s moduly ${displaystyle E_ {i}}$ viskozity ${displaystyle eta _ {i}}$ a relaxační časy ${displaystyle au _ {i} = {frac {eta _ {i}} {E_ {i}}}}$

Obecná forma modelu pro kapaliny je dána vztahem:

Obecný model Maxwell Fluid (4)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N } {left ({prod _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {částečné ^ {n} {sigma}} {částečné {t} ^ {n}}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({eta _ {0} + sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({left ({left _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({ prod _ {kin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) .. .}} ight) {frac {částečné ^ {n} {epsilon}} {částečné {t} ^ {n}}}}}$

To lze snáze pochopit zobrazením modelu v mírně rozšířenější podobě:

Obecný model Maxwell Fluid (5)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight)} {frac {částečné {sigma}} {částečné {t}}} +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {au _ {i} au _ {j}} }ight )}} ight)} {frac {částečné ^ {2} {sigma}} {částečné {t} ^ {2}}}}$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N -left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({prod _ {jin left {{ i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {částečné ^ {n} {sigma}} {částečné {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight) {frac {částečné ^ {N} {sigma}} {částečné {t} ^ {N}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle {left ({eta _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {N} {E_ {i} au _ {i}}} ight)} {frac {částečné {epsilon}} {částečné {t }}} +}$ ${displaystyle {left ({eta _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {left ({E_ {i} + E_ {j}} ight) au _ {i} au _ {j}}} ight)}} ight)} {frac {částečné ^ {2} {epsilon}} {částečné {t} ^ {2}}} }$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({eta _ {0} + sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({left ({sum _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({prod _ {kin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {částečné ^ {n } {epsilon}} {částečné {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({eta _ {0} + left ({sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {j}} ight) left ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ { i}}} ight)} ight) {frac {částečné ^ {N} {epsilon}} {částečné {t} ^ {N}}}}$

Příklad: kapalina se třemi parametry

Analogický model k standardní lineární objemový model je kapalina se třemi parametry, známá také jako Jeffreysův model:^[5]

Tříparametrový model kapaliny Maxwell (6)

${displaystyle sigma + au _ {1} {frac {částečné {sigma}} {částečné {t}}} = vlevo ({eta _ {0} + au _ {1} E_ {1}} vpravo) {frac {částečné {epsilon}} {částečné {t}}}}$

Reference

^ Wiechert, E (1889); "Ueber elastische Nachwirkung", disertační práce, Königsberg University, Německo
^ Wiechert, E (1893); „Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur“, Annalen der Physik, roč. 286, číslo 10, s. 335–348 a číslo 11, s. 546–570
^ Roylance, David (2001); „Engineering Viscoelasticity“, 14-15
^ Tschoegl, Nicholas W. (1989); „Fenomenologická teorie lineárního viskoelastického chování“, 119–126
^ Gutierrez-Lemini, Danton (2013). Technická viskoelasticita. Springer. str. 88. ISBN 9781461481393.

[Wiechert1-1] Wiechert, E (1889); "Ueber elastische Nachwirkung", disertační práce, Königsberg University, Německo

[Wiechert2-2] Wiechert, E (1893); „Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur“, Annalen der Physik, roč. 286, číslo 10, s. 335–348 a číslo 11, s. 546–570

[Roylance-3] Roylance, David (2001); „Engineering Viscoelasticity“, 14-15

[Tschoegl-4] Tschoegl, Nicholas W. (1989); „Fenomenologická teorie lineárního viskoelastického chování“, 119–126

[5] Gutierrez-Lemini, Danton (2013). Technická viskoelasticita. Springer. str. 88. ISBN 9781461481393.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]