G rovnice - G equation

v Spalování, G rovnice je skalární ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t)}$ polní rovnice, která popisuje okamžitou polohu plamene zavedenou Forman A. Williams v roce 1985^[1][2] ve studiu předmíchaného turbulentního spalování. Rovnice je odvozena na základě Metoda nastavení úrovně. Rovnici studoval George H. Markstein dříve, v omezující formě.^[3][4]

Matematický popis^[5][6]

G rovnice zní jako

${ displaystyle { frac { částečné G} { částečné t}} + mathbf {v} cdot nabla G = U_ {L} | nabla G |}$

kde

• ${ displaystyle mathbf {v}}$ je pole rychlosti proudění
• ${ displaystyle U_ {L}}$ je místní rychlost hoření

Umístění plamene je dáno vztahem ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t) = G_ {o}}$ které lze libovolně definovat tak, že ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t)> G_ {o}}$ je oblast spáleného plynu a ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t)$ je oblast nespáleného plynu. Normální vektor k plameni je ${ displaystyle mathbf {n} = - nabla G / | nabla G |}$.

Místní rychlost hoření

Rychlost hoření natažený plamen lze odvodit odečtením vhodných výrazů od nenapnuté rychlosti plamene pro malé zakřivení a malé přetvoření, jak je dáno

${ displaystyle U_ {L} = S_ {L} -S_ {L} { mathcal {L}} kappa - { mathcal {L}} S}$

kde

• ${ displaystyle S_ {L}}$ je rychlost hoření neroztažený plamen
• ${ displaystyle S = - mathbf {n} cdot nabla mathbf {v} cdot mathbf {n}}$ je termín odpovídající uloženému rychlost deformace na plameni v důsledku pole proudění
• ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ je Marksteinova délka, úměrná tloušťce laminárního plamene ${ displaystyle delta _ {L}}$, konstanta proporcionality je Marksteinovo číslo ${ displaystyle { mathcal {M}}}$
• ${ displaystyle kappa = nabla cdot mathbf {n} = - { frac { nabla ^ {2} G- mathbf {n} cdot nabla ( mathbf {n} cdot nabla G) } {| nabla G |}}}$ je zakřivení plamene, které je pozitivní, pokud je čelo plamene konvexní vzhledem ke nespálené směsi a naopak.

Jednoduchý příklad - vypalovačka slotů

Rovnice G má přesný výraz pro jednoduchý vypalovač slotů. Zvažte dvourozměrný planární štěrbinový hořák o šířce štěrbiny ${ displaystyle b}$ s předem smíchanou směsí reaktantů se štěrbinou přivádí konstantní rychlostí ${ displaystyle mathbf {v} = (0, U)}$, kde je souřadnice ${ displaystyle (x, y)}$ je zvolen tak, že ${ displaystyle x = 0}$ leží ve středu štěrbiny a ${ displaystyle y = 0}$ leží v místě ústí štěrbiny. Když je směs zapálena, vyvíjí se plamen z ústí štěrbiny do určité výšky ${ displaystyle y = L}$ s rovinným kuželovým tvarem s úhlem kužele ${ displaystyle alpha}$. V ustáleném případě se G rovnice redukuje na

${ displaystyle U { frac { částečné G} { částečné y}} = U_ {L} { sqrt { vlevo ({ frac { částečné G} { částečné x}} pravé) ^ {2 } + vlevo ({ frac { částečné G} { částečné y}} pravé) ^ {2}}}}$

Pokud je oddělení formy ${ displaystyle G (x, y) = y + f (x)}$ je zavedena, rovnice se stává

${ displaystyle U = U_ {L} { sqrt {1+ vlevo ({ frac { částečné f} { částečné x}} vpravo) ^ {2}}}, quad { text {nebo} } quad { frac { částečné f} { částečné x}} = { frac { sqrt {U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}}} {U_ {L}}}}$

který po integraci dává

${ displaystyle f (x) = { frac {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {U_ {L}}} | x | + C, quad Rightarrow quad G (x, y) = { frac {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {U_ {L}}} | x | + y + C}$

Bez ztráty obecnosti zvolte místo plamene, kde se má nacházet ${ displaystyle G (x, y) = G_ {o} = 0}$. Protože plamen je připevněn k ústí štěrbiny ${ displaystyle | x | = b / 2, y = 0}$, okrajová podmínka je ${ displaystyle G (b / 2,0) = 0}$, kterou lze použít k vyhodnocení konstanty ${ displaystyle C}$. Skalární pole tedy je

${ displaystyle G (x, y) = { frac {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {U_ {L}}} vlevo (| x | - { frac {b} {2}} vpravo) + y}$

Na špičce plamene máme ${ displaystyle x = 0, y = L, G = 0}$, výška plamene se snadno určí jako

${ displaystyle L = { frac {b (U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {2U_ {L}}}}$

a úhel plamene ${ displaystyle alpha}$ darováno

${ displaystyle tan alpha = { frac {b / 2} {L}} = { frac {U_ {L}} {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {2 }}}}$

Za použití trigonometrická identita ${ displaystyle tan ^ {2} alpha = sin ^ {2} alpha / (1- sin ^ {2} alfa)}$, my máme

${ displaystyle sin alpha = { frac {U_ {L}} {U}}}$

Reference