Furuta kyvadlo - Furuta pendulum

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Furuta kyvadlo"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Rotační obrácené kyvadlo: Klasický pedagogický příklad aplikace teorie řízení

The Furuta kyvadlo, nebo rotační obrácené kyvadlo, se skládá z poháněného ramene, které se otáčí v horizontální rovině a a kyvadlo připojené k tomuto ramenu, které se může volně otáčet ve svislé rovině. Byl vynalezen v roce 1992 v Tokijský technologický institut autor: Katsuhisa Furuta^[1][2][3][4] a jeho kolegové. Je to příklad složitého nelineárního oscilátoru, o který se zajímáme teorie řídicího systému. Kyvadlo je podhodnoceno a extrémně nelineární v důsledku gravitačních sil a vazby vyplývající z Coriolis a dostředivý síly. Od té doby desítky, možná stovky prací a prací použily systém k prokázání lineárních a nelineárních zákonů řízení.^[5][6][7] Systém byl také předmětem dvou textů.^[8][9]

Pohybové rovnice

Navzdory velké pozornosti, které se systému dostalo, jen velmi málo publikací úspěšně odvozuje (nebo využívá) plnou dynamiku. Mnoho autorů^[3][8] uvažovali pouze o rotační setrvačnosti kyvadla pro jednu hlavní osu (nebo ji zcela zanedbali^[9]). Jinými slovy, tenzor setrvačnosti má pouze jeden nenulový prvek (nebo žádný) a zbývající dva diagonální členy jsou nulové. Je možné najít kyvadlový systém, kde moment setrvačnosti v jedné ze tří hlavních os je přibližně nula, ale ne dva.

Několik autorů^{[2][4][6][10][11][12]} uvažovali o štíhlých symetrických kyvadlech, kde momenty setrvačnosti pro dvě hlavní osy jsou stejné a zbývající moment setrvačnosti je nula. Z desítek publikací zkoumaných pro tuto wiki pouze jeden konferenční příspěvek^[13] a deník^[14] Bylo zjištěno, že obsahují všechny tři hlavní setrvačné členy kyvadla. Oba papíry používaly a Lagrangeova formulace ale každá obsahovala drobné chyby (pravděpodobně typografické).

Zde uvedené pohybové rovnice jsou výňatkem z a papír^[15] na dynamice kyvadla Furuta odvozené na University of Adelaide.

Definice

Obr. 1: Schéma jednoduchého rotačního systému s obráceným kyvadlem.

Zvažte rotační obrácené kyvadlo namontované na stejnosměrný motor, jak je znázorněno na obr. 1. Stejnosměrný motor se používá k aplikaci točivého momentu ${displaystyle au _ {1}}$ na rameno 1. Spojení mezi ramenem 1 a ramenem 2 není aktivováno, ale může se volně otáčet. Obě paže mají délky ${displaystyle L_ {1}}$ a ${displaystyle L_ {2}}$. Paže mají masy ${displaystyle m_ {1}}$ a ${displaystyle m_ {2}}$ které se nacházejí na ${displaystyle l_ {1}}$ a ${displaystyle l_ {2}}$ respektive, což jsou délky od bodu otáčení paže k jeho těžišti. Ramena mají tenzory setrvačnosti ${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {1}}$ a ${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {2}}$ (o těžišti paží). Každý rotační spoj je viskózně tlumen tlumicími koeficienty ${displaystyle b_ {1}}$ a ${displaystyle b_ {2}}$, kde ${displaystyle b_ {1}}$ je tlumení poskytované ložisky motoru a ${displaystyle b_ {2}}$ je tlumení vyplývající z kolíkové spojky mezi ramenem 1 a ramenem 2.

Pro definování vstupů, stavů a ​​kartézských souřadnicových systémů 1 a 2 byl použit pravostranný souřadný systém. Osy souřadnic ramen 1 a ramen 2 jsou hlavními osami, takže tenzory setrvačnosti jsou úhlopříčné.

Úhlová rotace ramene 1, ${displaystyle heta _ {1}}$, se měří v horizontální rovině, kde je směr proti směru hodinových ručiček (při pohledu shora) kladný. Úhlová rotace ramene 2, ${displaystyle heta _ {2}}$, se měří ve svislé rovině, kde je směr proti směru hodinových ručiček (při pohledu zepředu) kladný. Když paže visí dolů ve stabilní rovnovážné poloze ${displaystyle heta _ {2} = 0}$ .

Točivý moment, který servomotor aplikuje na rameno 1, ${displaystyle au _ {1}}$, je kladný ve směru proti směru hodinových ručiček (při pohledu shora). Rušivý moment, ${displaystyle au _ {2}}$, zažívá rameno 2, kde je směr proti směru hodinových ručiček (při pohledu zepředu) kladný.

Předpoklady

Před odvozením dynamiky systému je třeba učinit řadu předpokladů. Tyto jsou:

• Hřídel motoru a rameno 1 se považují za pevně spojené a nekonečně tuhé.
• Rameno 2 se považuje za nekonečně tuhé.
• Osy souřadnic ramen 1 a ramen 2 jsou hlavními osami, takže tenzory setrvačnosti jsou úhlopříčné.
• Předpokládá se, že setrvačnost rotoru motoru je zanedbatelná. Tento výraz však lze snadno přidat k momentu setrvačnosti paže 1.
• Uvažuje se pouze viskózní tlumení. Všechny ostatní formy tlumení (například Coulomb) byly zanedbány, je však jednoduché přidat toto do konečného řídícího DE.

Nelineární pohybové rovnice

Nelineární pohybové rovnice jsou dány vztahem^[15]

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} vlevo (J_ {1zz} + m_ {1} l_ {1} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} ^ {2} + (J_ {2rr}) + m_ {2} l_ {2} ^ {2}) sin ^ {2} (heta _ {2}) + J_ {2xx} cos ^ {2} (heta _ {2}) ight) + {ddot {heta }} _ {2} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) - m_ {2} L_ {1} l_ {2} sin (heta _ {2}) {tečka { heta}} _ {2} ^ {2} + {dot {heta}} _ {1} {dot {heta}} _ {2} sin (2 heta _ {2}) (m_ {2} l_ {2} ^ {2} + J_ {2rr} -J_ {2xx}) + b_ {1} {dot {heta}} _ {1} = au _ {1}}$

a

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) + {ddot {heta}} _ {2} (m_ {2} l_ { 2} ^ {2} + J_ {2zz}) + 1/2 {tečka {heta}} _ {1} ^ {2} hřích (2 heta _ {2}) (- m_ {2} l_ {2} ^ {2} -J_ {2yy} + J_ {2xx}) + b_ {2} {dot {heta}} _ {2} + gm_ {2} l_ {2} sin (heta _ {2}) = au _ { 2}}$

Zjednodušení

Většina Furutových kyvadel má tendenci mít dlouhá štíhlá paže, takže moment setrvačnosti podél osy paží je zanedbatelný. Většina zbraní má navíc rotační symetrii, takže momenty setrvačnosti ve dvou hlavních osách jsou stejné. Tenzory setrvačnosti lze tedy aproximovat takto:

${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {1} = diag [J_ {1xx}, J_ {1yy}, J_ {1zz}] = diag [0, J_ {1}, J_ {1}]}$

${displaystyle {oldsymbol {J}} _ {2} = diag [J_ {2xx}, J_ {2yy}, J_ {2zz}] = diag [0, J_ {2}, J_ {2}]}$

Další zjednodušení lze dosáhnout provedením následujících substitucí. Celkový moment setrvačnosti ramene 1 kolem bodu otáčení (pomocí paralelní věty o průměru) je ${displaystyle {hat {J_ {1}}} = J_ {1} + m_ {1} l_ {1} ^ {2}}$. Celkový moment setrvačnosti ramene 2 kolem jeho otočného bodu je ${displaystyle {hat {J_ {2}}} = J_ {2} + m_ {2} l_ {2} ^ {2}}$. Nakonec definujte celkový moment setrvačnosti, který motorový rotor zažívá, když je kyvadlo (rameno 2) v rovnovážné poloze (visí svisle dolů), ${displaystyle {hat {J_ {0}}} = {hat {J}} _ {1} + m_ {2} L_ {1} ^ {2} = J_ {1} + m_ {1} l_ {1} ^ {2} + m_ {2} L_ {1} ^ {2}}$.

Nahrazení předchozích definic do řídících DE dává kompaktnější formu

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} vlevo ({hat {J_ {0}}} + {hat {J_ {2}}} sin ^ {2} (heta _ {2}) ight) + {ddot {heta}} _ {2} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) - m_ {2} L_ {1} l_ {2} hřích (heta _ {2}) { tečka {heta}} _ {2} ^ {2} + {dot {heta}} _ {1} {dot {heta}} _ {2} sin (2 heta _ {2}) {hat {J_ {2} }} + b_ {1} {dot {heta}} _ {1} = au _ {1}}$

a

${displaystyle {ddot {heta}} _ {1} m_ {2} L_ {1} l_ {2} cos (heta _ {2}) + {ddot {heta}} _ {2} {hat {J_ {2} }} - 1/2 {dot {heta}} _ {1} ^ {2} sin (2 heta _ {2}) {hat {J_ {2}}} + b_ {2} {dot {heta}} _ {2} + gm_ {2} l_ {2} sin (heta _ {2}) = au _ {2}}$

Viz také

• Obrácené kyvadlo
• Dvojité obrácené kyvadlo
• Setrvačné kolo kyvadla
• Samovyvažovací jednokolka

Reference

Další čtení

• O dynamice kyvadla Furuta
• Furutovo kyvadlo: Konzervativní nelineární model pro teorii a praxi

externí odkazy

• University of Adelaide
• University of Toronto
• Ohio State University
• Příklad rotačního obráceného kyvadla