Fuglede - Kadisonův determinant - Fuglede−Kadison determinant

v matematika, Fuglede - Kadisonův determinant invertibilního operátora v konečném faktor je kladné reálné číslo s ním spojené. Definuje multiplikativní homomorfismus od množiny invertibilních operátorů k množině kladných reálných čísel. Fuglede-Kadisonův determinant operátora ${ displaystyle A}$ je často označován ${ displaystyle Delta (A)}$ .

Pro matice ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle M_ {n} ( mathbb {C})}$ , ${ displaystyle Delta (A) = vlevo | det (A) vpravo | ^ {1 / n}}$ což je normalizovaná forma absolutní hodnoty určující z ${ displaystyle A}$ .

Definice

Nechat ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ být konečným faktorem s kanonickou normalizovanou stopou ${ displaystyle tau}$ a nechte ${ displaystyle X}$ být invertibilní operátor v ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ . Pak Fuglede-Kadisonův determinant ${ displaystyle X}$ je definován jako

{ displaystyle Delta (X): = exp tau ( log (X ^ {*} X) ^ {1/2}),}

(srov. Vztah mezi determinantem a stopou pomocí vlastních čísel ). Číslo ${ displaystyle Delta (X)}$ je dobře definován spojitý funkční počet.

Vlastnosti

${ displaystyle Delta (XY) = Delta (X) Delta (Y)}$ pro invertibilní operátory ${ displaystyle X, Y v { mathcal {M}}}$ ,
${ Displaystyle Delta ( exp A) = left | exp tau (A) right | = exp Re tau (A)}$ pro ${ displaystyle A v { mathcal {M}}.}$
${ displaystyle Delta}$ je normálně spojitá ${ displaystyle GL_ {1} ({ mathcal {M}})}$ , sada invertibilních operátorů v ${ displaystyle { mathcal {M}},}$
${ displaystyle Delta (X)}$ nepřesahuje spektrální poloměr ${ displaystyle X}$ .

Rozšíření singulárních operátorů

Existuje mnoho možných rozšíření Fuglede-Kadisonova determinantu singulárních operátorů ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ . Všichni musí operátorům s netriviálním prázdným prostorem přiřadit hodnotu 0. Žádné rozšíření determinantu ${ displaystyle Delta}$ od invertibilních operátorů ke všem operátorům v ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ , je spojitý v jednotné topologii.

Algebraické rozšíření

Algebraické rozšíření ${ displaystyle Delta}$ přiřadí hodnotu 0 singulárnímu operátoru v ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ .

Analytické rozšíření

Pro operátora ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ , analytické rozšíření ${ displaystyle Delta}$ používá spektrální rozklad ${ displaystyle | A | = int lambda ; dE _ { lambda}}$ definovat ${ displaystyle Delta (A): = exp left ( int log lambda ; d tau (E _ { lambda}) right)}$ s pochopením toho ${ displaystyle Delta (A) = 0}$ -li ${ displaystyle int log lambda ; d tau (E _ { lambda}) = - infty}$ . Toto rozšíření splňuje vlastnost kontinuity

{ displaystyle lim _ { varepsilon rightarrow 0} Delta (H + varepsilon I) = Delta (H)}

pro

{ displaystyle H geq 0.}

Zobecnění

Ačkoli původně byl Fuglede-Kadisonův determinant definován pro operátory v konečných faktorech, přenáší se na případ operátorů v von Neumannovy algebry s traumatickým stavem ( ${ displaystyle tau}$ ) v případě, že je označen ${ displaystyle Delta _ { tau} ( cdot)}$ .

Reference

Fuglede, Bent; Kadison, Richard (1952), „Determinující teorie v konečných faktorech“, Ann. Matematika., Řada 2, 55: 520–530, doi:10.2307/1969645.

de la Harpe, Pierre (2013), „Fuglede-Kadisonův determinant: téma a variace“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 110: 15864–15877, doi:10.1073 / pnas.1202059110.