Friedrichssova nerovnost - Friedrichss inequality - Wikipedia

v matematika, Friedrichsova nerovnost je teorém z funkční analýza, kvůli Kurt Friedrichs. Klade to vazbu na L^p norma funkce pomocí L^p hranice na slabé deriváty funkce a geometrie z doména, a lze je použít k prokázání této jistoty normy na Sobolevovy prostory jsou rovnocenné. Friedrichsova nerovnost je obecným případem Poincaré – Wirtingerova nerovnost který se případem zabývák = 1.

Prohlášení o nerovnosti

Nechat ${ displaystyle Omega}$ být omezená podmnožina z Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ s průměr ${ displaystyle d}$. Předpokládejme to ${ displaystyle u: Omega to mathbb {R}}$ leží v Sobolevově prostoru ${ displaystyle W_ {0} ^ {k, p} ( Omega)}$, tj., ${ displaystyle u in W ^ {k, p} ( Omega)}$ a stopa z ${ displaystyle u}$ na hranici ${ displaystyle částečné Omega}$ je nula. Pak

${ displaystyle | u | _ {L ^ {p} ( Omega)} leq d ^ {k} left ( sum _ {| alpha | = k} | mathrm {D} ^ { alpha} u | _ {L ^ {p} ( Omega)} ^ {p} vpravo) ^ {1 / p}.}$

Ve výše uvedeném

• ${ displaystyle | cdot | _ {L ^ {p} ( Omega)}}$ označuje L^p norma;
• α = (α₁, ..., α_n) je multi-index s normou |α| = α₁ + ... + α_n;
• D^αu je smíšený parciální derivace

${ displaystyle mathrm {D} ^ { alfa} u = { frac { částečné ^ {| alfa |} u} { částečné _ {x_ {1}} ^ { alfa _ {1}} cdots částečné _ {x_ {n}} ^ { alpha _ {n}}}}.}$

Viz také

• Poincarého nerovnost

Reference

• Rektorys, Karel (2001) [1977]. „Nerovnost podle Friedricha. Poincarého nerovnost“. Variační metody v matematice, vědě a inženýrství (2. vyd.). Dordrecht: Reidel. 188–198. ISBN  1-4020-0297-1.

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.