Fourierovo testování amplitudové citlivosti - Fourier amplitude sensitivity testing

Testování Fourierovy amplitudové citlivosti (FAST) je globální variancí Analýza citlivosti metoda. Hodnota citlivosti je definována na základě podmíněné odchylky které označují jednotlivé nebo společné účinky nejistých vstupů na výstup.

RYCHLE nejprve představuje podmíněné odchylky prostřednictvím koeficientů z násobku Fourierova řada rozšíření výstupní funkce. Pak ergodická věta se používá k transformaci vícerozměrného integrálu na jednorozměrný integrál při hodnocení Fourierových koeficientů. K provedení transformace je nutná sada nepřiměřených frekvencí a většina frekvencí je iracionálních. Pro usnadnění výpočtu je místo iracionálních frekvencí vybrána sada celých frekvencí. Celočíselné frekvence nejsou striktně nepřiměřené, což vede k chybě mezi vícerozměrným integrálem a transformovaným jednorozměrným integrálem. Celočíselné frekvence však mohou být vybrány tak, aby byly nepřiměřené k jakémukoli řádu, aby bylo možné chybu řídit tak, aby teoreticky vyhovovala jakémukoli požadavku na přesnost. Použitím celočíselných frekvencí v integrální transformaci je výsledná funkce v jednorozměrném integrálu periodická a integrál je potřeba vyhodnotit pouze v jedné periodě. Dále, protože spojitá integrální funkce může být získána ze sady konečných vzorkovacích bodů, pokud Nyquist – Shannonova věta o vzorkování je spokojen, jednorozměrný integrál je vyhodnocen ze součtu funkčních hodnot v generovaných vzorkovacích bodech.

FAST je efektivnější pro výpočet citlivosti než jiné globální metody analýzy citlivosti založené na rozptylu Integrace Monte Carlo. Výpočet pomocí RYCHLE je však obvykle omezen na citlivosti odkazující na „hlavní účinek“ nebo „celkový účinek“.

Dějiny

Metoda FAST vznikla studiem spojených chemických reakčních systémů v roce 1973^[1]^[2] a podrobná analýza výpočetní chyby byla předložena v roce 1975.^[3] V původní metodě byly vypočítány pouze indexy citlivosti prvního řádu odkazující na „hlavní efekt“. A FORTRAN počítačový program schopný analyzovat systémy algebraické nebo diferenciální rovnice byl publikován v roce 1982.^[4] V 90. letech se vypočítal vztah mezi indexy RYCHLÉ citlivosti a Sobolovými indexy Simulace Monte-Carlo byl odhalen v obecném rámci ANOVA - jako rozklad ^[5] a byla vyvinuta rozšířená metoda FAST schopná vypočítat indexy citlivosti odkazující na „celkový účinek“.^[6]

Nadace

Rozptylová citlivost

Indexy citlivosti metody založené na rozptylu se počítají pomocí ANOVA podobného rozkladu funkce pro analýzu. Předpokládejme, že funkce je ${ displaystyle Y = f left ( mathbf {X} right) = f left (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n} right)}$ kde ${ displaystyle 0 leq X_ {j} leq 1, j = 1, tečky, n}$ . Rozklad podobný ANOVA je

{ displaystyle f left (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n} right) = f_ {0} + sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} left (X_ {j} right) + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {k = j + 1} ^ {n} f_ {jk} left (X_ {j}, X_ {k} vpravo) + cdots + f_ {12 tečky n}}

pokud ${ displaystyle f_ {0}}$ je konstanta a integrál každého členu v součtech je nula, tj.

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} tečky j_ {r}} vlevo (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, tečky, X_ {j_ {r}} vpravo) dX_ {j_ {k}} = 0, { text {}} 1 leq k leq r.}

Podmíněná odchylka, která charakterizuje příspěvek každého výrazu k celkové odchylce ${ displaystyle f left ( mathbf {X} right)}$ je

{ displaystyle V_ {j_ {1} j_ {2} tečky j_ {r}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} dots j_ {r}} ^ {2} left (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, dots, X_ {j_ {r}} right) dX_ {j_ { 1}} dX_ {j_ {2}} tečky dX_ {j_ {r}}.}

Celková odchylka je součtem všech podmíněných odchylek

{ displaystyle V = sum _ {j = 1} ^ {n} V_ {j} + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {k = j + 1} ^ {n} V_ {jk} + cdots + V_ {12 tečky n}.}

Index citlivosti je definován jako normalizovaná podmíněná odchylka jako

{ displaystyle S_ {j_ {1} j_ {2} tečky j_ {r}} = { frac {V_ {j_ {1} j_ {2} tečky j_ {r}}} {V}}}

zejména citlivost prvního řádu

{ displaystyle S_ {j} = { frac {V_ {j}} {V}}}

což označuje hlavní efekt vstupu ${ displaystyle X_ {j}}$ .

Několik Fourierových řad

Jeden způsob, jak vypočítat rozklad podobný ANOVA, je založen na několika Fourierových řadách. Funkce ${ displaystyle f left ( mathbf {X} right)}$ v jednotce může být hyperkrychle rozšířena na vícenásobnou periodickou funkci a rozšíření vícenásobné Fourierovy řady je

{ displaystyle f left (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n} right) = sum _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} sum _ { m_ {2} = - infty} ^ { infty} cdots sum _ {m_ {n} = - infty} ^ { infty} C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n }} exp { bigl [} 2 pi i left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + cdots + m_ {n} X_ {n} vpravo) { bigr]}, { text {pro celá čísla}} m_ {1}, m_ {2}, tečky, m_ {n}}

kde je Fourierův koeficient

{ displaystyle C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f left (X_ { 1}, X_ {2}, dots, X_ {n} right) exp { bigl [} -2 pi i left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + dots + m_ {n} X_ {n} right) { bigr]}.}

Rozklad podobný ANOVA je

{ displaystyle { begin {aligned} f_ {0} & = C_ {00 dots 0} f_ {j} & = sum _ {m_ {j} neq 0} C_ {0 dots m_ {j } dots 0} exp { bigl [} 2 pi im_ {j} X_ {j} { bigr]} f_ {jk} & = sum _ {m_ {j} neq 0} sum _ {m_ {k} neq 0} C_ {0 dots m_ {j} dots m_ {k} dots 0} exp { bigl [} 2 pi i left (m_ {j} X_ {j } + m_ {k} X_ {k} right) { bigr]} f_ {12 dots n} & = sum _ {m_ {1} neq 0} sum _ {m_ {2} neq 0} cdots sum _ {m_ {n} neq 0} C_ {m_ {1} m_ {2} dots m_ {n}} exp { bigl [} 2 pi i left (m_ { 1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + cdots + m_ {n} X_ {n} right) { bigr]}. End {zarovnáno}}}

Podmíněná odchylka prvního řádu je

{ displaystyle { begin {aligned} V_ {j} & = int _ {0} ^ {1} f_ {j} ^ {2} left (X_ {j} right) dX_ {j} & = sum _ {m_ {j} neq 0} left | C_ {0 dots m_ {j} dots 0} right | ^ {2} & = 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} right) end {aligned}}}

kde ${ displaystyle A_ {m_ {j}}}$ a ${ displaystyle B_ {m_ {j}}}$ jsou skutečnou a imaginární součástí ${ displaystyle C_ {0 tečky m_ {j} tečky 0}}$ resp

${ displaystyle A_ {m_ {j}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f left (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n} right) cos left (2 pi m_ {j} X_ {j} right) dX_ {1} dX_ {2} dots dX_ {n}}$

${ displaystyle B_ {m_ {j}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f left (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n} right) sin left (2 pi m_ {j} X_ {j} right) dX_ {1} dX_ {2} dots dX_ {n}}$

Ergodická věta

Pro výpočet Fourierových koeficientů je nutné vyhodnotit vícerozměrný integrál. Jedním ze způsobů, jak vyhodnotit tento vícerozměrný integrál, je transformovat jej na jednorozměrný integrál vyjádřením každého vstupu jako funkce nové nezávislé proměnné ${ displaystyle s}$ , jak následuje

{ displaystyle X_ {j} left (s right) = { frac {1} {2 pi}} left ( omega _ {j} s { text {mod}} 2 pi right) , j = 1,2, tečky, n}

kde ${ displaystyle left { omega _ {j} right }}$ je sada nepřiměřených frekvencí, tj.

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} gamma _ {j} omega _ {j} = 0}

pro celočíselnou množinu ${ displaystyle left { gamma _ {j} right }}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle gamma _ {j} = 0}$ pro každého ${ displaystyle j}$ Potom lze Fourierovy koeficienty vypočítat pomocí jednorozměrného integrálu podle ergodické věty ^[7]

${ displaystyle A_ {m_ {j}} = lim _ {T to infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} f { bigl (} X_ { 1} left (s right), X_ {2} left (s right), dots, X_ {n} left (s right) { bigr)} cos { bigl (} 2 pi m_ {j} X_ {j} left (s right) { bigr)} ds}$

${ displaystyle B_ {m_ {j}} = lim _ {T to infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} f { bigl (} X_ { 1} left (s right), X_ {2} left (s right), dots, X_ {n} left (s right) { bigr)} sin { bigl (} 2 pi m_ {j} X_ {j} left (s right) { bigr)} ds}$

Implementace

Celočíselné frekvence

Maximálně jedna z nepřiměřených frekvencí ${ displaystyle left { omega _ {j} right }}$ může být racionální, zatímco ostatní jsou iracionální. Vzhledem k tomu, že číselnou hodnotu iracionálního čísla nelze uložit přesně do počítače, je při implementaci vyžadována aproximace nepřiměřených frekvencí všemi racionálními čísly. Bez ztráty jakékoli obecnosti lze frekvence nastavit jako celá čísla místo jakýchkoli racionálních čísel. Sada celých čísel ${ displaystyle left { omega _ {j} right }}$ je přibližně nepřiměřená řádu ${ displaystyle M}$ -li

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} gamma _ {j} omega _ {j} neq 0}

pro

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} vlevo | gamma _ {j} vpravo | leq M + 1}

kde ${ displaystyle M}$ je celé číslo. Přesný nepřiměřený stav je extrémní případ, když ${ displaystyle M do infty}$ .

Pomocí celočíselných frekvencí je funkce v transformovaném jednorozměrném integrálu periodická, takže pouze integrace za určité období ${ displaystyle 2 pi}$ je požadováno. Fourierovy koeficienty lze přibližně vypočítat jako

{ displaystyle { begin {zarovnáno} A_ {m_ {j}} & přibližně { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f { bigl (} X_ {1} left (s right), X_ {2} left (s right), dots, X_ {n} left (s right) { bigr)} cos left (m_ { j} omega _ {j} s right) ds: = { hat {A}} _ {m_ {j}} B_ {m_ {j}} & přibližně { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f { bigl (} X_ {1} left (s right), X_ {2} left (s right), dots, X_ {n} left (s right) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s right) ds: = { hat {B}} _ {m_ {j} } end {zarovnáno}}}

Aproximace nepřiměřených frekvencí pro konečnou hodnotu ${ displaystyle M}$ má za následek chybu nesrovnalosti mezi skutečnými Fourierovými koeficienty ${ displaystyle A_ {m_ {j}}}$ , ${ displaystyle B_ {m_ {j}}}$ a jejich odhady ${ displaystyle { hat {A}} _ {m_ {j}}}$ , ${ displaystyle { hat {B}} _ {m_ {j}}}$ . Čím větší je objednávka ${ displaystyle M}$ čím menší je chyba, tím větší je výpočetní úsilí potřebné k výpočtu odhadů v následujícím postupu. V praxi ${ displaystyle M}$ je často nastavena na 4 a je k dispozici tabulka výsledných frekvenčních sad, které mají až 50 frekvencí. (McRae et al., 1982)

Křivka vyhledávání

Transformace, ${ displaystyle X_ {j} left (s right) = { frac {1} {2 pi}} left ( omega _ {j} s { text {mod}} 2 pi right) }$ , definuje křivku vyhledávání ve vstupním prostoru. Pokud frekvence ${ displaystyle omega _ {j}, j = 1, tečky, n}$ , jsou nepřiměřené, křivka vyhledávání může projít každým bodem vstupního prostoru jako ${ displaystyle s}$ se pohybuje od 0 do ${ displaystyle infty}$ takže vícerozměrný integrál nad vstupním prostorem lze přesně transformovat na jednorozměrný integrál podél křivky vyhledávání. Pokud jsou však frekvence přibližně nepřiměřená celá čísla, křivka vyhledávání nemůže projít každým bodem ve vstupním prostoru. Pokud je to hledání opakováno, protože transformační funkce je periodická, s periodou ${ displaystyle 2 pi}$ . Jednorozměrný integrál lze vyhodnotit za jediné období místo nekonečného intervalu pro nepřiměřené frekvence; Kvůli aproximaci nesouměřivosti však vzniká výpočetní chyba.

Křivka vyhledávání
Křivka vyhledávání v případě ω₁= π a ω₂= 7. Vzhledem k tomu, že frekvence jsou nepřiměřené, křivka vyhledávání se neopakuje a může projít každým bodem čtverce
Křivka vyhledávání v případě ω₁= 3 a ω₂= 7. Vzhledem k tomu, že frekvence jsou celá čísla, která jsou přibližně nepřiměřená, křivka vyhledávání se opakuje a nemůže projít každým bodem čtverce
Křivka vyhledávání v případě ω₁= 11 a ω₂= 7. Vzhledem k tomu, že frekvence jsou celá čísla, která jsou přibližně nepřiměřená, křivka vyhledávání se opakuje a nemůže projít každým bodem čtverce

Vzorkování

Aproximovaný Fourier lze dále vyjádřit jako

{ displaystyle { hat {A}} _ {m_ {j}} = { begin {cases} 0 & m_ {j} { text {odd}} { frac {1} { pi}} int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} f { bigl (} mathbf {X} (s) { bigr)} cos left (m_ {j} omega _ {j} s right) ds & m_ {j} { text {even}} end {cases}}}

a

{ displaystyle { hat {B}} _ {m_ {j}} = { begin {cases} { frac {1} { pi}} int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} f { bigl (} mathbf {X} (s) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s right) ds & m_ {j} { text {odd} } 0 & m_ {j} { text {even}} end {cases}}}

Nenulové integrály lze vypočítat ze vzorkovacích bodů

{ displaystyle { begin {aligned} { hat {A}} _ {m_ {j}} & = { frac {1} {2q + 1}} sum _ {k = -q} ^ {q} f { bigl (} mathbf {X} (s_ {k}) { bigr)} cos vlevo (m_ {j} omega _ {j} s_ {k} vpravo), m_ {j} { text {even}} { hat {B}} _ {m_ {j}} & = { frac {1} {2q + 1}} sum _ {k = -q} ^ {q} f { bigl (} mathbf {X} (s_ {k}) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s_ {k} right), m_ {j} { text {odd}} end {aligned}}}

kde je jednotné místo odběru vzorků v ${ displaystyle left [- pi / 2, pi / 2 right]}$ je

{ displaystyle s_ {k} = { frac { pi k} {2q + 1}}, k = -q, tečky, -1,0,1, tečky, q.}

Celkový počet míst odběru vzorků je ${ displaystyle 2q + 1}$ který by měl splňovat Nyquistovo vzorkovací kritérium, tj.

{ displaystyle 2q + 1 geq N omega _ {max} +1}

kde ${ displaystyle omega _ {max}}$ je největší frekvence v ${ displaystyle left { omega _ {k} right }}$ a ${ displaystyle N}$ je maximální řád vypočítaných Fourierových koeficientů.

Částečná částka

Po výpočtu odhadovaných Fourierových koeficientů lze podmíněnou odchylku prvního řádu přiblížit pomocí

{ displaystyle { begin {aligned} V_ {j} & = 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} right) & cca 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} left ({ hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} vpravo) & přibližně 2 součet _ {m_ {j} = 1} ^ {2} vlevo ( { hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} right) & = 2 left ({ klobouk {A}} _ {m_ {j} = 2} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j} = 1} ^ {2} right) end {zarovnáno}}}

kde se počítá pouze částečný součet prvních dvou členů a ${ displaystyle N = 2}$ pro stanovení počtu míst odběru vzorků. Použití částečného součtu může obvykle vrátit přiměřeně dobrou aproximaci celkového součtu, protože k celkovému součtu obvykle nejvíce přispívají výrazy odpovídající základní frekvenci a frekvenci nízkého řádu. Fourierův koeficient v součtu je pouze odhadem skutečné hodnoty a přidání dalších výrazů vyššího řádu nepomůže výrazně zlepšit přesnost výpočtu. Protože celočíselné frekvence nejsou přesně nepřiměřené, existují dvě celá čísla ${ displaystyle m_ {j}}$ a ${ displaystyle m_ {k}}$ takhle ${ displaystyle m_ {j} omega _ {j} = m_ {k} omega _ {k}.}$ K interferenci mezi těmito dvěma frekvencemi může dojít, pokud jsou do součtu zahrnuty termíny vyššího řádu.

Podobně celková odchylka ${ displaystyle f left ( mathbf {X} right)}$ lze vypočítat jako

{ displaystyle V cca { hat {A}} _ {0} left [f ^ {2} right] - { hat {A}} _ {0} left [f right] ^ {2 }}

kde ${ displaystyle { hat {A}} _ {0} left [f ^ {2} right]}$ označuje odhadovaný Fourierův koeficient funkce ${ displaystyle f ^ {2}}$ uvnitř držáku a ${ displaystyle { hat {A}} _ {0} vlevo [f vpravo] ^ {2}}$ je čtvercový Fourierův koeficient funkce ${ displaystyle f}$ . Nakonec lze vypočítat citlivost vztahující se k hlavnímu účinku vstupu vydělením podmíněné odchylky celkovou odchylkou.

Reference

^ Cukier, R.I., C.M. Fortuin, K.E. Shuler, A.G. Petschek a J.H. Schaibly (1973). Studium citlivosti spojených reakčních systémů na nejistoty v rychlostních koeficientech. Teorie. Journal of Chemical Physics, 59, 3873–3878.
^ Schaibly, J.H. a K.E. Shuler (1973). Studium citlivosti spojených reakčních systémů na nejistoty v rychlostních koeficientech. II Aplikace. Journal of Chemical Physics, 59, 3879–3888.
^ Cukier, R.I., J.H. Schaibly, a K.E. Shuler (1975). Studium citlivosti spojených reakčních systémů na nejistoty v rychlostních koeficientech. III. Analýza aproximací. Journal of Chemical Physics, 63, 1140–1149.
^ McRae, G.J., J.W. Tilden a J.H. Seinfeld (1982). Globální analýza citlivosti - výpočetní implementace testu citlivosti na Fourierovu amplitudu (FAST). Počítače a chemické inženýrství, 6, 15–25.
^ Archer G.E.B., A. Saltelli a I.M. Sobol (1997). Měření citlivosti, techniky podobné ANOVA a použití bootstrapu. Journal of Statistical Computation and Simulation, 58, 99–120.
^ Saltelli A., S. Tarantola a K.P.S. Chan (1999). Kvantitativní metoda nezávislá na modelu pro analýzu globální citlivosti výstupu modelu. Technometrics, 41, 39–56.
^ Weyl, H. (1938). Střední pohyb. American Journal of Mathematics, 60, 889–896.

[1] Cukier, R.I., C.M. Fortuin, K.E. Shuler, A.G. Petschek a J.H. Schaibly (1973). Studium citlivosti spojených reakčních systémů na nejistoty v rychlostních koeficientech. Teorie. Journal of Chemical Physics, 59, 3873–3878.

[2] Schaibly, J.H. a K.E. Shuler (1973). Studium citlivosti spojených reakčních systémů na nejistoty v rychlostních koeficientech. II Aplikace. Journal of Chemical Physics, 59, 3879–3888.

[3] Cukier, R.I., J.H. Schaibly, a K.E. Shuler (1975). Studium citlivosti spojených reakčních systémů na nejistoty v rychlostních koeficientech. III. Analýza aproximací. Journal of Chemical Physics, 63, 1140–1149.

[4] McRae, G.J., J.W. Tilden a J.H. Seinfeld (1982). Globální analýza citlivosti - výpočetní implementace testu citlivosti na Fourierovu amplitudu (FAST). Počítače a chemické inženýrství, 6, 15–25.

[5] Archer G.E.B., A. Saltelli a I.M. Sobol (1997). Měření citlivosti, techniky podobné ANOVA a použití bootstrapu. Journal of Statistical Computation and Simulation, 58, 99–120.

[6] Saltelli A., S. Tarantola a K.P.S. Chan (1999). Kvantitativní metoda nezávislá na modelu pro analýzu globální citlivosti výstupu modelu. Technometrics, 41, 39–56.

[7] Weyl, H. (1938). Střední pohyb. American Journal of Mathematics, 60, 889–896.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]