Formální kritéria pro adjunkční funktory - Formal criteria for adjoint functors

Freydova adjunktní věta o funktoru^[1] — Nechat ${ displaystyle G: { mathcal {B}} na { mathcal {A}}}$ být funktorem mezi takovými kategoriemi ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je kompletní. Následující jsou ekvivalentní (pro jednoduchost ignorování množinově-teoretických problémů):

1. G má levý adjoint.
2. ${ displaystyle G}$ zachovává všechny limity a pro každý objekt X v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, existuje sada Já a Já-indexovaná rodina morfismů ${ displaystyle f_ {i}: x to Gy_ {i}}$ tak, že každý morfismus ${ displaystyle x to Gy}$ je ve formě ${ displaystyle G (y_ {i} to y) circ f_ {i}}$ pro nějaký morfismus ${ displaystyle y_ {i} to y}$.

Kan kritérium pro existenci levého adjoint — Nechat ${ displaystyle G: { mathcal {B}} na { mathcal {A}}}$ být funktorem mezi kategoriemi. Pak jsou ekvivalentní následující.

1. G má levý adjoint.
2. G konzervuje limity a pro každý objekt X v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, omezení ${ displaystyle lim ({(x downarrow G) až { mathcal {B}}})}$ existuje v ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.^[2]
3. Právo Kan rozšíření ${ displaystyle G _ {!} 1 _ { mathcal {B}}}$ funktoru identity ${ displaystyle 1 _ { mathcal {B}}}$ podél G existuje a je zachována G.

Navíc, když je to tento případ, pak levý adjoint z G lze vypočítat pomocí levého rozšíření Kan.^[2]