Rovinnost (teorie systémů) - Flatness (systems theory)

Plochost v teorie systémů je systémová vlastnost, která rozšiřuje pojem ovladatelnost z lineární systémy na nelineární dynamické systémy. Systém, který má vlastnost plochosti, se nazývá a plochý systém. Ploché systémy mají (fiktivní) plochý výstup, kterou lze použít k výslovnému vyjádření všech stavů a ​​vstupů z hlediska plochého výstupu a konečného počtu jeho derivátů.

Definice

Nelineární systém

${displaystyle {dot {mathbf {x}}} (t) = mathbf {f} (mathbf {x} (t), mathbf {u} (t)), quad mathbf {x} (0) = mathbf {x} _ {0}, quad mathbf {u} (t) v R ^ {m}, quad mathbf {x} (t) v R ^ {n}, {ext {Rank}} {frac {částečný mathbf {f} ( mathbf {x}, mathbf {u})} {částečný mathbf {u}}} = m}$

je plochý, pokud existuje výstup

${displaystyle mathbf {y} (t) = (y_ {1} (t), ..., y_ {m} (t))}$

který splňuje následující podmínky:

• Signály ${displaystyle y_ {i}, i = 1, ..., m}$ jsou reprezentovatelné jako funkce států ${displaystyle x_ {i}, i = 1, ..., n}$ a vstupy ${displaystyle u_ {i}, i = 1, ..., m}$ a konečný počet derivátů s ohledem na čas ${displaystyle u_ {i} ^ {(k)}, k = 1, ..., alfa _ {i}}$: ${displaystyle mathbf {y} = Phi (mathbf {x}, mathbf {u}, {dot {mathbf {u}}}, ..., mathbf {u} ^ {(alpha)})}$.
• Státy ${displaystyle x_ {i}, i = 1, ..., n}$ a vstupy ${displaystyle u_ {i}, i = 1, ..., m}$ jsou reprezentovatelné jako funkce výstupů ${displaystyle y_ {i}, i = 1, ..., m}$ a jejích derivátů s ohledem na čas ${displaystyle y_ {i} ^ {(k)}, i = 1, ..., m}$.
• Součásti ${displaystyle mathbf {y}}$ jsou odlišně nezávislé, to znamená, že nevyhovují žádné diferenciální rovnici formy ${displaystyle phi (mathbf {y}, {dot {mathbf {y}}}, mathbf {y} ^ {(gamma)}) = mathbf {0}}$.

Pokud jsou tyto podmínky splněny alespoň místně, je volán (případně fiktivní) výstup plochý výstupa systém je byt.

Vztah k ovladatelnosti lineárních systémů

A lineární systém ${displaystyle {dot {mathbf {x}}} (t) = mathbf {A} mathbf {x} (t) + mathbf {B} mathbf {u} (t), quad mathbf {x} (0) = mathbf { x} _ {0}}$se stejnými rozměry signálu pro ${displaystyle mathbf {x}, mathbf {u}}$ protože nelineární systém je plochý, právě když je ovladatelný. Pro lineární systémy obě vlastnosti jsou ekvivalentní, a proto vyměnitelné.

Význam

Vlastnost plochosti je užitečná jak pro analýzu, tak pro syntézu řadičů pro nelineární dynamické systémy. Je obzvláště výhodné pro řešení problémů s plánováním trajektorie a asymptotické řízení požadované hodnoty.

Literatura

• M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin a P. Rouchon: Plochost a defekt nelineárních systémů: úvodní teorie a příklady. International Journal of Control 61(6), str. 1327-1361, 1995 [1]
• A. Isidori, C.H. Moog et A. De Luca. Dostatečná podmínka pro úplnou linearizaci prostřednictvím zpětné vazby dynamického stavu. 25. CDC IEEE, Atény, Řecko, s. 203 - 208, 1986 [2]

Viz také

• Teorie řízení
• Řídicí technika
• Regulátor (teorie řízení)
• Plochá pseudospektrální metoda