Finslersovo lemma - Finslers lemma - Wikipedia

Finslerovo lemma je matematický výsledek pojmenovaný po Paul Finsler. Uvádí rovnocenné způsoby vyjádření pozitivní definitivnost a kvadratická forma Q omezen a lineární forma L. Jelikož je ekvivalentní dalším lemmatům používaným v teorii optimalizace a řízení, jako např Yakubovichovo S-lemma,^[1] Finslerovo lemma dostalo mnoho důkazů a bylo široce používáno, zejména ve výsledcích souvisejících s robustní optimalizace a lineární maticové nerovnosti.

Prohlášení o Finslerově lematu

Nechat $X \in R n$ , $Q \in R n x n$ a $L \in R n x n$ . Následující prohlášení jsou ekvivalentní:^[2]

${ displaystyle displaystyle x ^ {T} Lx = 0 { text {a}} x neq 0 { text {implikuje}} x ^ {T} Qx <0.}$
${ displaystyle existuje mu v mathbb {R}: Q- mu L prec 0.}$

Varianty

V konkrétním případě L je kladný semi-definitivní, je možné jej rozložit na $L = B T B$ . Následující tvrzení, která jsou v literatuře označována také jako Finslerovo lemma, jsou ekvivalentní:^[3]

${ displaystyle x ^ {T} Qx <0 { text {pro všechny}} x in ker (B) smallsetminus {0 }}$
${ displaystyle B ^ { perp ^ {T}} QB ^ { perp} prec 0}$
${ displaystyle existuje mu in mathbb {R}: Q- mu B ^ {T} B prec 0}$
${ displaystyle existuje X v mathbb {R} ^ {n krát m}: Q + XB + B ^ {T} X ^ {T} prec 0}$

Zobecnění

Lemma projekce

Následující výrok, známý jako Projection Lemma (nebo také jako Elimination Lemma), je běžný v literatuře lineární maticové nerovnosti:^[4]

${ displaystyle B ^ { perp ^ {T}} QB ^ { perp} prec 0 { text {a}} C ^ {T perp T} QC ^ {T perp} prec 0}$
${ displaystyle existuje X v mathbb {R} ^ {n krát m}: Q + CXB + B ^ {T} X ^ {T} C ^ {T} prec 0}$

To lze považovat za zobecnění jedné z Finslerových variant lemmatu se zahrnutím extra matice a zvláštního omezení.

Robustní verze

Finslerovo lema také zobecňuje pro matice Q a B v závislosti na parametru s v sadě S. V tomto případě je přirozené se zeptat, zda je stejná proměnná μ (resp X) může uspokojit ${ displaystyle Q (s) - mu B ^ {T} (s) B (s) prec 0}$ pro všechny ${ displaystyle s v S}$ (respektive ${ displaystyle Q (s) + X (s) B (s) + B ^ {T} (s) X ^ {T} (s) prec 0}$ ). Li Q a B závisí průběžně na parametru s, a S je kompaktní, pak je to pravda. Li S není kompaktní, ale Q a B jsou stále spojité maticové funkce, pak μ a X lze zaručit, že budou přinejmenším spojité funkce.^[5]

Aplikace

S-Variabilní přístup k robustnímu řízení lineárních dynamických systémů

Finslerovo lemma lze použít k poskytnutí nových charakteristik lineární maticové nerovnosti (LMI) problémům se stabilitou a kontrolou.^[3] Sada LMI vycházející z tohoto postupu přináší méně konzervativní výsledky při použití na problémy s řízením, kde má systémová matice závislost na parametru, jako je například robustní ovládání problémy a řízení systémů s proměnnými lineárními parametry.^[6] Tento přístup byl nedávno označen jako S-variabilní přístup^[7]^[8] a LMI vycházející z tohoto přístupu jsou známé jako SV-LMI (také známé jako rozšířené LMI)^[9]).

Dostatečná podmínka pro univerzální stabilizaci nelineárních systémů

A nelineární systém má vlastnost univerzální stabilizace, pokud lze globálně stabilizovat každé dopředu úplné řešení systému. Použitím Finslerova lematu je možné odvodit dostatečnou podmínku pro univerzální stabilizaci ve smyslu diferenciální lineární maticové nerovnosti.^[10]

Viz také

Reference

^ Zi-Zong, Yan; Jin-Hai, Guo (2010). „Některé rovnocenné výsledky s Yakubovichovým S-lemem“. SIAM Journal on Control and Optimization. 48 (7): 4474–4480. doi:10.1137/080744219.
^ Finsler, Paul (1936). „Über das Vorkommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen“. Commentarii Mathematici Helvetici. 9 (1): 188–192. doi:10.1007 / BF01258188.
^ ^A ^b de Oliveira, Maurício C .; Skelton, Robert E. (2001). "Zkoušky stability pro omezené lineární systémy". V Moheimani, S. O. Reza (ed.). Perspektivy robustního řízení. London: Springer-Verlag. str.241 –257. ISBN 978-1-84628-576-9.
^ Boyd, S .; El Ghaoui, L .; Feron, E .; Balakrishnan, V. (01.01.1994). Nerovnosti lineární matice v teorii systému a řízení. Studium aplikované a numerické matematiky. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. doi:10.1137/1.9781611970777. ISBN 9780898714852.
^ Ishihara, J. Y .; Kussaba, H. T. M .; Borges, R. A. (srpen 2017). "Existence kontinuálních nebo konstantních Finslerových proměnných pro systémy závislé na parametrech". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 62 (8): 4187–4193. arXiv:1711.04570. doi:10.1109 / tac.2017.2682221. ISSN 0018-9286.
^ Oliveira, R. C. L. F .; Peres, P. L. D. (červenec 2007). „LMI závislé na parametrech v robustní analýze: charakterizace homogenních polynomiálních řešení závislých na parametrech pomocí LMI relaxací“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. 52 (7): 1334–1340. doi:10.1109 / tac.2007.900848. ISSN 0018-9286.
^ Ebihara, Yoshio; Peaucelle, Dimitri; Arzelier, Denis (2015). Variabilní přístup S k robustnímu řízení založenému na LMI | SpringerLink. Komunikační a řídicí technika. doi:10.1007/978-1-4471-6606-1. ISBN 978-1-4471-6605-4.
^ Hosoe, Y .; Peaucelle, D. (červen 2016). Přístup S-proměnné k robustní syntéze zpětnovazebního stavu stabilizace pro systémy charakterizované náhodnými polytopy. Evropská kontrolní konference 2016 (ECC). 2023–2028. doi:10.1109 / ecc.2016.7810589. ISBN 978-1-5090-2591-6.
^ Ebihara, Y .; Hagiwara, T. (srpen 2002). Rozšířený přístup LMI k robustní analýze výkonu lineárních časově invariantních nejistých systémů. Sborník 41. výroční konference SICE. SICE 2002. 4. str. 2585–2590 obj. 4. doi:10.1109 / přesto.2002.1195827. ISBN 978-0-7803-7631-1.
^ Manchester, I. R .; Slotine, J. J. E. (červen 2017). "Kontrolní metriky kontrakce: konvexní a vnitřní kritéria pro návrh nelineární zpětné vazby". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 62 (6): 3046–3053. arXiv:1503.03144. doi:10.1109 / tac.2017.2668380. ISSN 0018-9286.

[1] Zi-Zong, Yan; Jin-Hai, Guo (2010). „Některé rovnocenné výsledky s Yakubovichovým S-lemem“. SIAM Journal on Control and Optimization. 48 (7): 4474–4480. doi:10.1137/080744219.

[Fin:36-2] Finsler, Paul (1936). „Über das Vorkommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen“. Commentarii Mathematici Helvetici. 9 (1): 188–192. doi:10.1007 / BF01258188.

[deOS:01-3] A ^b de Oliveira, Maurício C .; Skelton, Robert E. (2001). "Zkoušky stability pro omezené lineární systémy". V Moheimani, S. O. Reza (ed.). Perspektivy robustního řízení. London: Springer-Verlag. str.241 –257. ISBN 978-1-84628-576-9.

[4] Boyd, S .; El Ghaoui, L .; Feron, E .; Balakrishnan, V. (01.01.1994). Nerovnosti lineární matice v teorii systému a řízení. Studium aplikované a numerické matematiky. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. doi:10.1137/1.9781611970777. ISBN 9780898714852.

[5] Ishihara, J. Y .; Kussaba, H. T. M .; Borges, R. A. (srpen 2017). "Existence kontinuálních nebo konstantních Finslerových proměnných pro systémy závislé na parametrech". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 62 (8): 4187–4193. arXiv:1711.04570. doi:10.1109 / tac.2017.2682221. ISSN 0018-9286.

[6] Oliveira, R. C. L. F .; Peres, P. L. D. (červenec 2007). „LMI závislé na parametrech v robustní analýze: charakterizace homogenních polynomiálních řešení závislých na parametrech pomocí LMI relaxací“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. 52 (7): 1334–1340. doi:10.1109 / tac.2007.900848. ISSN 0018-9286.

[7] Ebihara, Yoshio; Peaucelle, Dimitri; Arzelier, Denis (2015). Variabilní přístup S k robustnímu řízení založenému na LMI | SpringerLink. Komunikační a řídicí technika. doi:10.1007/978-1-4471-6606-1. ISBN 978-1-4471-6605-4.

[8] Hosoe, Y .; Peaucelle, D. (červen 2016). Přístup S-proměnné k robustní syntéze zpětnovazebního stavu stabilizace pro systémy charakterizované náhodnými polytopy. Evropská kontrolní konference 2016 (ECC). 2023–2028. doi:10.1109 / ecc.2016.7810589. ISBN 978-1-5090-2591-6.

[9] Ebihara, Y .; Hagiwara, T. (srpen 2002). Rozšířený přístup LMI k robustní analýze výkonu lineárních časově invariantních nejistých systémů. Sborník 41. výroční konference SICE. SICE 2002. 4. str. 2585–2590 obj. 4. doi:10.1109 / přesto.2002.1195827. ISBN 978-0-7803-7631-1.

[10] Manchester, I. R .; Slotine, J. J. E. (červen 2017). "Kontrolní metriky kontrakce: konvexní a vnitřní kritéria pro návrh nelineární zpětné vazby". Transakce IEEE na automatickém ovládání. 62 (6): 3046–3053. arXiv:1503.03144. doi:10.1109 / tac.2017.2668380. ISSN 0018-9286.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]