Metoda konečného objemu pro problém dvojrozměrné difúze - Finite volume method for two dimensional diffusion problem - Wikipedia

Metody používané pro řešení dvourozměrných Difúze problémy jsou podobné těm, které se používají pro jednorozměrné problémy. Obecnou rovnici pro stabilní difúzi lze snadno odvodit z obecné transportní rovnice pro vlastnost Φ odstraněním přechodných a konvektivních výrazů^[1]

${ displaystyle { frac { částečné {}} { částečné {} x}} levé ( Gamma {} { frac { částečné {} phi {}} { částečné {} x}} pravé ) + { frac { částečné {}} { částečné {} y}} vlevo ( Gamma {} { frac { částečné {} phi {}} { částečné {} y}} vpravo) + S = 0}$

kde,
${ displaystyle Gamma}$ je koeficient difúze^[2] a ${ displaystyle S}$ je termín Zdroj.^[3]

Část dvojrozměrného mřížka používá Diskretizace je zobrazen níže:

Graf dvourozměrného grafu

Kromě východních (E) a západních (W) sousedů má obecný uzel sítě P, nyní také severní (N) a jižní (S) sousedy. Pro všechny plochy a rozměry buňky se používá stejný zápis jako v jednorozměrné analýze. Když je výše uvedená rovnice formálně integrována přes Ovládejte hlasitost, získáváme

${ displaystyle int _ { Delta {v}} { frac { částečné {}} { částečné {} x}} vlevo ( Gamma {} { frac { částečné {} phi {}} { částečné {} x}} pravé) dxdy + int _ { Delta {v}} { frac { částečné {}} { částečné {} y}} levé ( Gamma {} { frac { částečné {} phi {}} { částečné {} y}} vpravo) dxdy + int _ { Delta {v}} S _ { phi {}} dV = 0}$

Pomocí věty o divergenci lze rovnici přepsat jako:

${ displaystyle left [{ Gamma {}} _ {e} A_ {e} left ({ frac { částečné {} phi {}} { částečné {} x}} vpravo) _ {e } - { Gamma {}} _ {w} A_ {w} vlevo ({ frac { částečné {} phi {}} { částečné {} x}} vpravo) _ {w} vpravo] + left [{ Gamma {}} _ {n} A_ {n} left ({ frac { partial {} phi {}} { partial {} y}} right) _ {n} - { Gamma {}} _ {s} A_ {s} vlevo ({ frac { částečné {} phi {}} { částečné {} y}} vpravo) _ {s} vpravo] + { bar {S}} Delta {} V = 0}$

Tato rovnice představuje rovnováhu generování vlastnosti φ v a Ovládejte hlasitost a tavidla skrz jeho tváře buněk. Deriváty mohou být reprezentovány následujícím způsobem pomocí Taylor série přiblížení:

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {w} A_ {w} vlevo ({ frac { částečné {} phi {}} { částečné {x}}} vpravo)} _ {w} = { Gamma {}} _ {w} A_ {w} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {w})} {{ delta {} x } _ {WP}}}}$

Tok přes východní stěnu

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e} vlevo ({ frac { částečné {} phi {}} { částečné {x}}} vpravo)} _ {e} = { Gamma {}} _ {e} A_ {e} { frac {({ phi {}} _ {e} - { phi {}} _ {p})} {{ delta {} x } _ {PE}}}}$

Tok přes jižní stěnu

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s} vlevo ({ frac { částečné {} phi {}} { částečné {y}}} vpravo)} _ {s} = { Gamma {}} _ {s} A_ {s} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {s})}} {{ delta {} y } _ {SP}}}}$

Tok přes severní stěnu

${ displaystyle {{ Gamma {}} _ {n} A_ {n} vlevo ({ frac { částečné {} phi {}} { částečné {y}}} vpravo)} _ {n} = { Gamma {}} _ {n} A_ {n} { frac {({ phi {}} _ {n} - { phi {}} _ {p})} {{ delta {} y } _ {PN}}}}$

Dosazením těchto výrazů do rovnice (2) získáme

${ displaystyle { Gamma {}} _ {e} A_ {e} { frac {({ phi {}} _ {e} - { phi {}} _ {p})}} {{ delta { } x} _ {PE}}} - { Gamma {}} _ {w} A_ {w} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {w} )} {{delta {} x} _ {WP}}} + { Gamma {}} _ {n} A_ {n} { frac {({ phi {}} _ {n} - { phi {}} _ {p})} {{ delta {} y} _ {PN}}} - { Gamma {}} _ {s} A_ {s} { frac {({ phi {}} _ {p} - { phi {}} _ {s})} {{ delta {} y} _ {SP}}} + { bar {S}} Delta {} V = 0}$

Když je zdrojový člen zastoupen v linearizované formě ${ displaystyle { bar {S}} Delta {} V = S_ {u} + S_ {p} * S _ { varphi}}$ , tuto rovnici lze přeskupit jako,

${ displaystyle left [{ frac {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e}} {{ delta {} x} _ {PE}}} + { frac {{ Gamma {}} _ {w} A_ {w}} {{ delta {} x} _ {WP}}} + { frac {{ Gamma {}} _ {n} A_ {n}} {{ delta {} y } _ {PN}}} + { frac {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s}} {{ delta {} y} _ {SP}}} - S_ {p} vpravo] phi {} _ {P}}$ = ${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e}} {{ delta {} x} _ {PE}}} phi {} _ {E} + { frac {{ Gamma {}} _ {w} A_ {w}} {{ delta {} x} _ {WP}}} phi {} _ {W} + { frac {{ Gamma {}} _ {n } A_ {n}} {{ delta {} x} _ {PN}}} phi {} _ {N} + { frac {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s}} {{ delta {} x} _ {SP}}} phi {} _ {S} + S_ {u}}$

Tuto rovnici lze nyní vyjádřit obecně diskriminován tvar rovnice pro vnitřní uzly, tj.

${ displaystyle a_ {P} phi {} _ {P} = a_ {W} phi {} _ {W} + a_ {E} phi {} _ {E} + a_ {S} phi {} _ {S} + a_ {N} phi {} _ {N} + S_ {u}}$

Kde,

${ displaystyle a_ {W}}$	${ displaystyle a_ {E}}$	${ displaystyle a_ {S}}$	${ displaystyle a_ {N}}$	${ displaystyle a_ {P}}$
${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {w} A_ {w}} {{ delta {} x} _ {WP}}}}$	${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {e} A_ {e}} {{ delta {} x} _ {PE}}}}$	${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {s} A_ {s}} {{ delta {} x} _ {SP}}}}$	${ displaystyle { frac {{ Gamma {}} _ {n} A_ {n}} {{ delta {} x} _ {PN}}}}$	${ displaystyle a_ {W} + a_ {E} + a_ {S} + a_ {N} -S_ {p}}$

Plochy obličeje v dvourozměrném případě jsou:

 ${ displaystyle A_ {w} = A_ {e} = Delta {} y}$

a

 ${ displaystyle A_ {n} = A_ {s} = Delta {} x}$ .

Získáváme rozdělení majetku ${ displaystyle varphi {}}$ tj. daná dvourozměrná situace psaním diskriminován rovnice ve tvaru rovnice (3) v každém uzlu mřížky rozdělené domény. Na hranicích, kde je známa teplota nebo toky, se upraví diskretizovaná rovnice tak, aby zahrnovala okrajové podmínky. Koeficient hraniční strany je nastaven na nulu (řezání vazby s hranicí) a tok překračující tuto hranici je zaveden jako zdroj, který je připojen k jakékoli existující ${ displaystyle s_ {u}}$ a ${ displaystyle S_ {p}}$ podmínky. Následně je výsledná sada rovnic vyřešena, aby se získalo dvourozměrné rozdělení vlastnosti ${ displaystyle varphi {}}$

Reference

Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
Tannehill, John C. a kol., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2. vyd., Taylor a Francis.
Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
Carslaw, H. S. a Jager, J. C. (1959). Vedení tepla v pevných látkách. Oxford: Clarendon Press
Crank, J. (1956). Matematika šíření. Oxford: Clarendon Press
Thambynayagam, R. K. M (2011). Příručka pro šíření: Aplikovaná řešení pro inženýry: McGraw-Hill

^ „Navier-Stokesovy rovnice v mechanice tekutin“. Efunda.com. Citováno 2013-10-29.
^ „Difúze - užitečné rovnice“. Life.illinois.edu. Citováno 2013-10-29.
^ „SSCP: Programovací strategie“. Physics.drexel.edu. Citováno 2013-10-29.

externí odkazy

Viz také

[1] „Navier-Stokesovy rovnice v mechanice tekutin“. Efunda.com. Citováno 2013-10-29.

[2] „Difúze - užitečné rovnice“. Life.illinois.edu. Citováno 2013-10-29.

[3] „SSCP: Programovací strategie“. Physics.drexel.edu. Citováno 2013-10-29.

[1]

[2]

[3]