Problém reprezentace konečné mřížky - Finite lattice representation problem

v matematika, problém reprezentace konečné mřížkynebo problém mřížky konečné kongruence, ptá se, zda každý konečný mříž je izomorfní do kongruenční mřížka nějakého konečného algebra.

Pozadí

A mříž je nazýván algebraický Pokud to je kompletní a kompaktně generované. V roce 1963 Grätzer a Schmidt dokázali, že každá algebraická mřížka je isomorfní s kongruenční mřížka některých algebra.[1] V podstatě tedy neexistuje žádné omezení tvaru kongruenční mřížky algebry. Problém reprezentace konečné mřížky se ptá, zda totéž platí pro konečné mřížky a konečné algebry. To znamená, že každá konečná mříž se vyskytuje jako kongruenční mřížka a konečný algebra?

V roce 1980 Pálfy a Pudlák dokázali, že tento problém je ekvivalentní problému rozhodování, zda se každá konečná mřížka vyskytuje jako interval v mřížka podskupiny konečný skupina.[2] Přehled skupinového teoretického přístupu k problému viz Pálfy (1993)[3] a Pálfy (2001).[4]

Tento problém by neměl být zaměňován s kongruenční mřížkový problém.

Význam

Toto je jeden z nejstarších nevyřešených problémů v univerzální algebra.[5][6][7] Dokud nebude zodpovězena, teorie konečných algeber je neúplná, protože vzhledem k konečné algebře není známo, zda existují, a priori, jakákoli omezení tvaru jeho kongruenční mřížky.

Reference

  1. ^ G. Grätzer a E. T. Schmidt, Charakterizace kongruenčních mřížek abstraktních algeberActa Sci. Matematika. (Segedín) 24 (1963), 34–59.
  2. ^ Pálfy a Pudlák. Kongruenční mřížky konečných algeber a intervaly v podskupinových mřížkách konečných skupin. Algebra Universalis 11 (1), 22–27 (1980). DOI
  3. ^ Péter Pál Pálfy. Intervaly v podskupinových mřížkách konečných skupin. Ve skupinách 93 Galway / St. Andrews, sv. 2, díl 212 London Math. Soc. Řada přednášek, strany 482–494. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
  4. ^ Péter Pál Pálfy. Skupiny a svazy. Ve skupinách St. Andrews 2001 v Oxfordu. Sv. II, svazek 305 London Math. Soc. Lecture Note Ser., Strany 428–454, Cambridge, 2003. Cambridge Univ. Lis.
  5. ^ Joel Berman. Shodné mřížky konečných univerzálních algeber. Disertační práce, University of Washington, 1970.
  6. ^ Bjarni Jónsson. Témata z univerzální algebry. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 250. Springer Verlag, Berlín, 1972.
  7. ^ Ralph McKenzie. Konečné zakázané mříže. In: Universal algebra and lattice theory (Puebla, 1982), Lecture Notes in Math., Sv. 1004, s. 176–205. Springer, Berlín (1983). DOI

externí odkazy