Fibonacciho polynomy - Fibonacci polynomials - Wikipedia

v matematika, Fibonacciho polynomy plocha polynomiální sekvence což lze považovat za zobecnění Fibonacciho čísla. Polynomy generované podobným způsobem z Lucasova čísla jsou nazývány Lucasovy polynomy.

Definice

Tito Fibonacci polynomy jsou definovány a relace opakování:^[1]

${ displaystyle F_ {n} (x) = { begin {cases} 0, & { mbox {if}} n = 0 1, & { mbox {if}} n = 1 xF_ {n -1} (x) + F_ {n-2} (x), & { mbox {if}} n geq 2 end {cases}}}$

Prvních několik Fibonacciho polynomů je:

${ displaystyle F_ {0} (x) = 0 ,}$

${ displaystyle F_ {1} (x) = 1 ,}$

${ displaystyle F_ {2} (x) = x ,}$

${ displaystyle F_ {3} (x) = x ^ {2} +1 ,}$

${ displaystyle F_ {4} (x) = x ^ {3} + 2x ,}$

${ displaystyle F_ {5} (x) = x ^ {4} + 3x ^ {2} +1 ,}$

${ displaystyle F_ {6} (x) = x ^ {5} + 4x ^ {3} + 3x ,}$

Lucasovy polynomy používají stejné opakování s různými počátečními hodnotami:^[2]${ displaystyle L_ {n} (x) = { začátek {případů} 2, & { mbox {if}} n = 0 x, & { mbox {if}} n = 1 xL_ {n -1} (x) + L_ {n-2} (x), & { mbox {if}} n geq 2. end {cases}}}$

Prvních několik Lucasových polynomů je:

${ displaystyle L_ {0} (x) = 2 ,}$

${ displaystyle L_ {1} (x) = x ,}$

${ displaystyle L_ {2} (x) = x ^ {2} +2 ,}$

${ displaystyle L_ {3} (x) = x ^ {3} + 3x ,}$

${ displaystyle L_ {4} (x) = x ^ {4} + 4x ^ {2} +2 ,}$

${ displaystyle L_ {5} (x) = x ^ {5} + 5x ^ {3} + 5x ,}$

${ displaystyle L_ {6} (x) = x ^ {6} + 6x ^ {4} + 9x ^ {2} +2. ,}$

Fibonacciho a Lucasova čísla se získají vyhodnocením polynomů v X = 1; Pell čísla jsou získány hodnocením F_n na X = 2. Stupně F_n je n - 1 a stupeň L_n je n. The obyčejná generující funkce pro sekvence jsou:^[3]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} F_ {n} (x) t ^ {n} = { frac {t} {1-xt-t ^ {2}}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} L_ {n} (x) t ^ {n} = { frac {2-xt} {1-xt-t ^ {2}}}. }$

Polynomy lze vyjádřit pomocí Lucasovy sekvence tak jako

${ displaystyle F_ {n} (x) = U_ {n} (x, -1), ,}$

${ displaystyle L_ {n} (x) = V_ {n} (x, -1). ,}$

Totožnosti

Jako konkrétní případ Lucasových sekvencí splňují Fibonacciho polynomy řadu identit.

Nejprve je lze definovat pro záporné indexy pomocí^[4]

${ displaystyle F _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n-1} F_ {n} (x), , L _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n} L_ {n} (x).}$

Mezi další identity patří:^[4]

${ displaystyle F_ {m + n} (x) = F_ {m + 1} (x) F_ {n} (x) + F_ {m} (x) F_ {n-1} (x) ,}$

${ displaystyle L_ {m + n} (x) = L_ {m} (x) L_ {n} (x) - (- 1) ^ {n} L_ {m-n} (x) ,}$

${ displaystyle F_ {n + 1} (x) F_ {n-1} (x) -F_ {n} (x) ^ {2} = (- 1) ^ {n} ,}$

${ displaystyle F_ {2n} (x) = F_ {n} (x) L_ {n} (x). ,}$

Výrazy uzavřené formy, podobné Binetovu vzorci, jsou:^[4]

${ displaystyle F_ {n} (x) = { frac { alfa (x) ^ {n} - beta (x) ^ {n}} { alfa (x) - beta (x)}}, , L_ {n} (x) = alpha (x) ^ {n} + beta (x) ^ {n},}$

kde

${ displaystyle alpha (x) = { frac {x + { sqrt {x ^ {2} +4}}} {2}}, , beta (x) = { frac {x - { sqrt {x ^ {2} +4}}} {2}}}$

jsou řešení (v t) z

${ displaystyle t ^ {2} -xt-1 = 0. ,}$

Vztah mezi Fibonacciho polynomy a standardními polynomy je dán vztahem

${ displaystyle x ^ {n} = F_ {n + 1} (x) + sum _ {k = 1} ^ { lfloor n / 2 rfloor} (- 1) ^ {k} left [{ binom {n} {k}} - { binom {n} {k-1}} right] F_ {n + 1-2k} (x).}$

Například,

${ displaystyle x ^ {4} = F_ {5} (x) -3F_ {3} (x) + 2F_ {1} (x) ,}$

${ displaystyle x ^ {5} = F_ {6} (x) -4F_ {4} (x) + 5F_ {2} (x) ,}$

${ displaystyle x ^ {6} = F_ {7} (x) -5F_ {5} (x) + 9F_ {3} (x) -5F_ {1} (x) ,}$

${ displaystyle x ^ {7} = F_ {8} (x) -6F_ {6} (x) + 14F_ {4} (x) -14F_ {2} (x) ,}$

Důkaz o této skutečnosti je uveden na straně 5 tady.

Kombinatorický výklad

Koeficienty Fibonacciho polynomů lze odečíst z Pascalova trojúhelníku po „mělkých“ úhlopříčkách (zobrazených červeně). Součty koeficientů jsou Fibonacciho čísla.

Li F(n,k) je koeficient X^k v F_n(X), tak

${ displaystyle F_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} F (n, k) x ^ {k}, ,}$

pak F(n,k) je počet způsobů, jak n−1 na 1 obdélník lze obkládat s 2 na 1 domino a čtverce 1 ku 1, takže přesně k čtverce jsou použity.^[1] Ekvivalentně F(n,k) je počet způsobů psaní n-1 jako objednaná částka zahrnující pouze 1 a 2, takže 1 se použije přesně k krát. Například F (6,3) = 4 a 5 lze zapsat čtyřmi způsoby, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 , jako součet zahrnující pouze 1 a 2 s 1 použitým 3krát. Když spočítáme, kolikrát jsou v takovém součtu použity 1 a 2, je zřejmé, že F(n,k) se rovná binomický koeficient

${ displaystyle F (n, k) = { binom { tfrac {n + k-1} {2}} {k}}}$

když n a k mít opačnou paritu. To dává způsob, jak odečíst koeficienty z Pascalův trojúhelník jak je znázorněno vpravo.

Reference

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). „§9.4 Fibonacci a Lucas Polynomial“. Důkazy, které se skutečně počítají: Umění kombinatorického důkazu. Dolcianiho matematické expozice. 27. Mathematical Association of America. p.141. ISBN  978-0-88385-333-7.
• Philippou, Andreas N. (2001) [1994], „Fibonacciho polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Philippou, Andreas N. (2001) [1994], „Lucasovy polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Weisstein, Eric W. „Lucas Polynomial“. MathWorld.

Další čtení

• Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). "Kořeny Fibonacciho polynomů". Fibonacci čtvrtletně. 11: 271–274. ISSN  0015-0517. PAN  0332645.
• Hoggatt, V. E .; Long, Calvin T. (1974). "Vlastnosti dělitelnosti zobecněných Fibonacciho polynomů". Fibonacci čtvrtletně. 12: 113. PAN  0352034.
• Ricci, Paolo Emilio (1995). "Zobecněné Lucasovy polynomy a Fibonacciho polynomy". Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137–146. PAN  1395332.
• Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Některé identity zahrnující Fibonacciho polynomy". Fibonacci čtvrtletně. 40 (4): 314. PAN  1920571.
• Cigler, Johann (2003). „q-Fibonacciho polynomy“. Fibonacci čtvrtletně (41): 31–40. PAN  1962279.

externí odkazy

• OEIS posloupnost A162515 (trojúhelník koeficientů polynomů definovaných formou Binet)
• OEIS posloupnost A011973 (trojúhelník koeficientů Fibonacciho polynomů)