Fellersové konstanty házení mincí - Fellers coin-tossing constants - Wikipedia

Fellerovy konstanty házení mincí jsou množinou numerických konstant, které popisují asymptotické pravděpodobnosti že v n nezávislé losování a spravedlivá mince, žádný běh k po sobě jdoucích hlav (nebo stejně, ocasů).

William Feller ukázal^[1] že pokud je tato pravděpodobnost zapsána jako p(n,k) pak

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} p (n, k) alpha _ {k} ^ {n + 1} = beta _ {k}}$

kde α_k je nejmenší pozitivní skutečný kořen

${ displaystyle x ^ {k + 1} = 2 ^ {k + 1} (x-1)}$

a

${ displaystyle beta _ {k} = {2- alpha _ {k} nad k + 1-k alpha _ {k}}.}$

Hodnoty konstant

k	${ displaystyle alpha _ {k}}$	${ displaystyle beta _ {k}}$
1	2	2
2	1.23606797...	1.44721359...
3	1.08737802...	1.23683983...
4	1.03758012...	1.13268577...

Pro ${ displaystyle k = 2}$ konstanty se vztahují k Zlatý řez, ${ displaystyle varphi}$, a Fibonacciho čísla; konstanty jsou ${ displaystyle { sqrt {5}} - 1 = 2 varphi -2 = 2 / varphi}$ a ${ displaystyle 1 + 1 / { sqrt {5}}}$. Přesná pravděpodobnost p(n, 2) lze vypočítat buď pomocí Fibonacciho čísla, p(n, 2) =${ displaystyle { tfrac {F_ {n + 2}} {2 ^ {n}}}}$ nebo řešením přímého relace opakování což vede ke stejnému výsledku. Pro vyšší hodnoty ${ displaystyle k}$, konstanty souvisejí s zobecnění Fibonacciho čísel jako jsou čísla tribonacci a tetranacci. Odpovídající přesné pravděpodobnosti lze vypočítat jako p(n, k) =${ displaystyle { tfrac {F_ {n + 2} ^ {(k)}} {2 ^ {n}}}}$. ^[2]

Příklad

Pokud hodíme spravedlivou minci desetkrát, pak je pravděpodobnost, že žádná dvojice hlav nevznikne za sebou (tj. n = 10 a k = 2) je p(10,2) = ${ displaystyle { tfrac {9} {64}}}$ = 0,140625. Aproximace ${ displaystyle p (n, k) přibližně beta _ {k} / alpha _ {k} ^ {n + 1}}$ dává 1,44721356 ... × 1,23606797 ...⁻¹¹ = 0.1406263...

Reference

externí odkazy

• Konstanty Steva Finche v Mathsoftu