Falešná difúze - False diffusion - Wikipedia

Falešná difúze je typ chyby pozorované, když schéma proti větru se používá k přiblížení proudění termín v konvekčně – difúzní rovnice. Čím přesnější centrální rozdílové schéma lze použít pro proudění termín, ale pro mřížky s buňkou Peclet číslo více než 2 je centrální rozdílové schéma nestabilní a často se používá jednodušší schéma proti větru. Výsledná chyba ze schématu diferenciace proti větru má ve dvoj- nebo trojrozměrných souřadnicových systémech vzhled podobný difúzi a je označována jako „falešná difúze“. Falešné difúzní chyby v numerických řešeních konvekčně-difúzních problémů, ve dvou- a trojrozměrných, vznikají z numerických aproximací konvekčního členu v konzervačních rovnicích. Za posledních 20 let mnoho numerické byly vyvinuty techniky pro řešení rovnic konvekce a difúze a žádné nejsou bezproblémové, ale falešná difúze je jedním z nejzávažnějších problémů a hlavním tématem kontroverze a zmatku mezi numerické analytiky.

Definice

Falešná difúze je definována jako chyba mající difuzní vzhled, získaná, když schéma proti větru se používá v multidimenzionálních případech k řešení distribuce transportovaných vlastností plynoucích neortogonálně do jedné nebo více hlavních os systému. Chyba chybí, když je tok kolmý nebo rovnoběžný s každou hlavní osou.

Příklad

Obr. 1: Toková doména ilustrující falešnou difúzi

Na obrázku 1 u = 2 a proti = 2 m / s všude, takže rychlostní pole je jednotný a kolmý k úhlopříčka (XX). Okrajové podmínky pro teplota na severní a západní stěně je 100 ° C a na východní a jižní stěně je 0 ° C. Tato oblast je propojena do 10 × 10 stejných mřížek. Vezměte dva případy (i) s koeficient difúze ≠ 0 a případ (ii) s difuzním koeficientem = 0.

Případ (i)

Obr. 2: Západní stěna má teplotu 100 ° C, zatímco jižní stěna má teplotu 0 ° C. Teplo se šíří přes úhlopříčku XX

V tomto případě je teplo ze západní a jižní stěny přenášeno proudění tok směrem k severní a východní zdi. Teplo se také šíří přes úhlopříčku XX z horního do dolního trojúhelníku. Obrázek 2 ukazuje přibližné rozložení teploty.

Případ ii)

V tomto případě je teplo ze západní a jižní stěny prouděno prouděním směrem na sever a východ. Po diagonále XX nedojde k žádné difúzi, ale když schéma proti větru je použito, výsledky jsou podobné případu (i), kde dochází ke skutečné difúzi. Tato chyba se nazývá falešná difúze.

Pozadí

V časných přístupech deriváty v diferenciální forma vládnoucí transportní rovnice byly nahrazeny konečnými diferenčními aproximacemi, obvykle centrálními diferenčními aproximacemi s přesností druhého řádu. U velkých čísel Peclet (obecně> 2) však tato aproximace poskytla nepřesné výsledky. Bylo to nezávisle uznáno několika vyšetřovateli^[1]^[2] že levnější, ale přesná pouze první objednávka schéma proti větru lze použít, ale že toto schéma produkuje výsledky s falešnou difúzí pro vícerozměrné případy. Bylo vyvinuto mnoho nových schémat pro boj proti falešné difúzi, ale spolehlivé, přesné a ekonomické diskretizační schéma je stále nedostupné.

Snižování chyb

Obr. 3 (a): Velikost ok 8 × 8

Obr. 3 (b): Výsledek schématu proti větru s velikostí ok 8X8

Obr. 4 (a): Velikost ok 64 × 64

Obr. 4 (b): Výsledek schématu proti větru s velikostí ok 64 × 64

Jemnější síťovina

Falešná difúze s schéma proti větru se sníží zvýšením hustoty sítě. Ve výsledcích na obrázcích 3 a 4 je chyba falešné difúze nejnižší na obrázku 4 (b) s jemnější velikostí ok.

Další schémata

Falešnou difúzní chybu lze také snížit použitím schémat, jako je schéma mocenského práva, RYCHLÉ schéma, exponenciální schéma, a SUCCA, a další.^[3]^[4]

Zlepšení systému proti větru

Falešná difúze s jednoduchým schéma proti větru dochází, protože schéma nezohledňuje sklon sítě / směru toku. Přibližný výraz pro termín falešné difúze ve dvou dimenzích podali de Vahl Davis a Mallinson (1972)^[5]

{ displaystyle { tau _ {fc} ^ { star} = { frac { rho U , Delta x , Delta y sin 2 theta} {4 ( Delta y sin ^ { 3} theta + Delta x cos ^ {3} theta)}}}}

(1)

kde U je výsledná rychlost a θ je úhel vytvořený vektorem rychlosti s X směr. Falešná difúze chybí, když je výsledný tok zarovnán s některou ze sad čar mřížky a je největší, když je směr toku 45˚ k čarám mřížky.

Určení přesnosti aproximace pro konvekční člen

Použitím Taylor série pro ${ displaystyle phi _ {W}}$ a ${ displaystyle phi _ {P}}$ v době, kdy t + kt jsou

{ displaystyle phi _ {Wk} = phi _ {wk} - vlevo ({ frac { delta x_ {i}} {2}} vpravo) vlevo ({ frac { částečné phi} { partial x}} right) _ {wk} + { frac {1} {2!}} left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) ^ {2} left ({ frac { částečné ^ {2} phi} { částečné x ^ {2}}} vpravo) _ {wk} + cdots.}

(2a)

{ displaystyle phi _ {Pk} = phi _ {wk} - vlevo ({ frac { delta x_ {i}} {2}} vpravo) vlevo ({ frac { částečné phi} { partial x}} right) _ {wk} + { frac {1} {2!}} left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) ^ {2} left ({ frac { částečné ^ {2} phi} { částečné x ^ {2}}} vpravo) _ {wk} + cdots.}

(2b)

podle aproximace proti větru pro konvekci (UAC), ${ displaystyle { phi _ {wk} = phi _ {Wk}}}$ . Zanedbáním vyššího řádu v rovnici (2a) je chyba konvekčního toku způsobená touto aproximací ${ displaystyle {- rho _ {w} u_ {w} delta y_ {i} left ({ frac { delta x_ {i}} {2}} right) left ({ frac { částečný phi} { částečný x}} pravý) _ {týden]}}$ . Má formu toku ${ displaystyle { phi}}$ falešnou difúzí s difúzní koeficientem^[6]

{ displaystyle tau _ {fc, UAC} ^ { star} = { rho _ {w} u_ {w} vlevo ({ frac { Delta x_ {i}} {2}} vpravo)} }

(3)

Dolní index fc je připomenutí, že se jedná o falešnou difúzi vyplývající z odhadu konvekčního toku v daném okamžiku ${ displaystyle t + k , Delta t}$ pomocí UAC.

Šikmý algoritmus proudění v rohu proti směru větru (SUCCA)

Obr. 5:SUCCA shluk buněk mřížky

SUCCA bere v úvahu místní směr toku zavedením vlivu rohových buněk proti větru do diskretizované konzervační rovnice v obecné řídící dopravní rovnici. Na obr. SUCCA se aplikuje v rámci devíti seskupení mřížky buněk. Vzhledem k přílivu SW rohu pro buňku P, SUCCA rovnice pro konvektivní transport konzervovaných druhů ${ displaystyle { phi}}$ jsou

{ displaystyle C_ {P} phi _ {P} = left ({ dot {m}} _ {w} - { frac {({ dot {m}} _ {s}) ^ {2} } {{ dot {m}} _ {w}}} vpravo) phi _ {W} + vlevo ({ dot {m}} _ {s} + { frac {({ dot {m }} _ {s}) ^ {2}} {{ dot {m}} _ {w}}} right) phi _ {SW} +0. phi _ {S} { text {pro} } 0 < theta leq 45}

(4)

tj.,

{ displaystyle C_ {P} phi _ {P} = C_ {w} phi _ {W} + C_ {s} w phi _ {SW}}

(5)

{ displaystyle C_ {P} phi _ {P} = left ({ dot {m}} _ {s} - { frac {({ dot {m}} _ {w}) ^ {2} } {{ dot {m}} _ {s}}} vpravo) phi _ {W} + { vlevo ({ dot {m}} _ {w} + { frac {({ dot { m}} _ {w}) ^ {2}} {{ dot {m}} _ {s}}} right) phi _ {SW}} + 0. phi _ {W} { text { pro}} 45 < theta <90}

(6)

tj.,

{ displaystyle C_ {P} phi _ {P} = C_ {s} phi _ {S} + C_ {s} w phi _ {SW}}

(7)

Tato formulace splňuje všechna kritéria konvergence a stabilita.^[7]

Obr.6: Porovnání různých schémat

Na obr. 6, jak je síť rafinována, je schéma proti větru dává přesnější výsledky, ale SUCCA nabízí téměř přesné řešení a je užitečnější při vyhýbání se vícerozměrným chybám falešné difúze.

Viz také

Reference

^ R. Courant, E.Isaacson a M.Rees. „O řešení nelineárních hyperbolických diferenciálních rovnic konečným rozdílem, Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952) 243–255“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ K.E. Torrance. „Porovnání konečných rozdílových výpočtů přirozené konvekce J.Res N.B.S 72B (1968) 281–301“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Versteeg, H. K.; Malalasekera, W. (2007). Úvod do výpočetní dynamiky tekutin: metoda konečných objemů (2. vyd.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.
^ Patankar, Suhas V. (1980). Numerický přenos tepla a tok tekutin (14. tisk, vyd.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.
^ Patankar, Suhas V. (1980). Numerický přenos tepla a průtok tekutiny strana č .: 108 (14. tisk, vyd.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.
^ G.D Raithby. „Kritické hodnocení diferenciace proti proudu aplikované na problémy spojené s prouděním kapaliny, POČÍTAČOVÉ METODY V APLIKOVANÉ MECHANICE A INŽENÝRSTVÍ, 9 (1976) 75– 103“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ C.Carey, T.J. Scanlon a S.M. Fraser. „SUCCA- Alternativní schéma ke snížení účinků vícerozměrné falešné difúze, Appl. Math Modeling, 1993, sv. 17, květen 263–270“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

Další čtení

Patankar, Suhas V. (1980), Numerický přenos tepla a tok tekutin, Taylor & Francis Group, ISBN 9780891165224
Wesseling, Pieter (2001), Principy výpočetní dynamiky tekutinSpringer, ISBN 978-3-540-67853-3
Datum, Anil W. (2005), Úvod do výpočetní dynamiky tekutin, Cambridge University Press, ISBN 9780521853262

[1] R. Courant, E.Isaacson a M.Rees. „O řešení nelineárních hyperbolických diferenciálních rovnic konečným rozdílem, Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952) 243–255“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[2] K.E. Torrance. „Porovnání konečných rozdílových výpočtů přirozené konvekce J.Res N.B.S 72B (1968) 281–301“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[3] Versteeg, H. K.; Malalasekera, W. (2007). Úvod do výpočetní dynamiky tekutin: metoda konečných objemů (2. vyd.). Harlow: Prentice Hall. ISBN 9780131274983.

[4] Patankar, Suhas V. (1980). Numerický přenos tepla a tok tekutin (14. tisk, vyd.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.

[5] Patankar, Suhas V. (1980). Numerický přenos tepla a průtok tekutiny strana č .: 108 (14. tisk, vyd.). Bristol, PA: Taylor & Francis. ISBN 9780891165224.

[6] G.D Raithby. „Kritické hodnocení diferenciace proti proudu aplikované na problémy spojené s prouděním kapaliny, POČÍTAČOVÉ METODY V APLIKOVANÉ MECHANICE A INŽENÝRSTVÍ, 9 (1976) 75– 103“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[7] C.Carey, T.J. Scanlon a S.M. Fraser. „SUCCA- Alternativní schéma ke snížení účinků vícerozměrné falešné difúze, Appl. Math Modeling, 1993, sv. 17, květen 263–270“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]