Falkner – Skan mezní vrstva - Falkner–Skan boundary layer
V dynamice tekutin je Falkner – Skan mezní vrstva (pojmenováno po V. M. Falknerovi a Sylvia W. Skan[1]) popisuje stabilní dvourozměrný laminární systém mezní vrstva který se tvoří na klínu, tj. proudí, ve kterém deska není rovnoběžná s prouděním. Jedná se o zobecnění Blasiova mezní vrstva.
A schematické schéma profilu průtoku Blasius. Proudová složka rychlosti je zobrazen jako funkce proměnné podobnosti .
Prandtl je[2] rovnice známé jako rovnice mezní vrstvy pro stálý nestlačitelný průtok s konstantní viskozitou a hustotou jsou
Zde je souřadný systém zvolen pomocí směřující rovnoběžně s deskou ve směru toku a souřadnice směřující k volnému proudu, a jsou a složky rychlosti, je tlak, je hustota a je kinematická viskozita.
The -časová rovnice znamená, že tlak v mezní vrstvě musí být roven tlaku volného proudu pro jakýkoli daný proud koordinovat. Vzhledem k tomu, že rychlostní profil je ve volném proudu jednotný, není zde zahrnuta žádná vířivost, proto je jednoduchá Bernoulliho rovnice lze použít v této výšce Reynoldsovo číslo omezit Constantor, po diferenciaci:Tady je rychlost tekutiny mimo mezní vrstvu a je řešením Eulerovy rovnice (dynamika tekutin).
Byla nalezena řada řešení podobnosti této rovnice pro různé typy toku, včetně hraničních vrstev plochých desek. Termín podobnost odkazuje na vlastnost, že rychlostní profily v různých polohách toku jsou stejné kromě faktoru měřítka. Tato řešení jsou často prezentována ve formě nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic.
Falkner – Skanova rovnice - hraniční vrstva prvního řádu[3]
Můžeme zobecnit Blasiova mezní vrstva uvažováním klínu pod úhlem útoku z nějakého rovnoměrného rychlostního pole . Potom odhadneme, že vnější tok má formu:
Kde je charakteristická délka a m je bezrozměrná konstanta. V řešení Blasius, m = 0 odpovídá úhlu náběhu nulových radiánů. Můžeme tedy napsat:
Stejně jako v řešení Blasius používáme proměnnou podobnosti vyřešit rovnice mezní vrstvy.
Profily hraniční vrstvy Falkner-Skan pro vybrané hodnoty .
Je snazší to popsat z hlediska jeho streamovací funkce, kterou píšeme jako
Počáteční diferenciální rovnice tedy byla napsána následovně:
Lze nyní vyjádřit pomocí nelineární ODR známé jako Falkner-Skanova rovnice.
s okrajovými podmínkami
Když , problém se redukuje na Hiemenzův tok. Tady, m <0 odpovídá nepříznivému tlakovému gradientu (což často vede k separace mezní vrstvy ) zatímco m > 0 představuje příznivý tlakový gradient. (Všimněte si, že m = 0 obnovuje Blasiovu rovnici). V roce 1937 Douglas Hartree ukázaly, že fyzikální řešení rovnice Falkner – Skan existují pouze v rozsahu . Pro více záporné hodnoty m, tj. pro silnější gradienty nepříznivého tlaku všechna řešení splňující okrajové podmínky při η = 0 mají vlastnost, která F(η)> 1 pro rozsah hodnot η. To je fyzicky nepřijatelné, protože to znamená, že rychlost v mezní vrstvě je větší než v hlavním toku.[4]
Další podrobnosti lze najít ve Wilcox (2007).
Tloušťka posunutí pro profil Falkner-Skan je dána vztahem
Zde Falkner – Skan mezní vrstva se zadaným specifická entalpie u zdi je studováno. The hustota, viskozita a tepelná vodivost zde již nejsou konstantní. Na nízké úrovni Machovo číslo aproximace, stane se rovnice pro zachování hmotnosti, hybnosti a energie
kde je Prandtl číslo s příponou představující vlastnosti vyhodnocené v nekonečnu. Okrajové podmínky se stanou
,
.
Na rozdíl od nestlačitelné mezní vrstvy může řešení podobnosti existovat pouze v případě transformace