Exponenciálně rovnocenná opatření - Exponentially equivalent measures

v matematika, exponenciální ekvivalence měr je, jak dvě sekvence nebo rodiny pravděpodobnostní opatření jsou z hlediska „stejné“ teorie velkých odchylek.

Definice

Nechat ${displaystyle (M, d)}$ být metrický prostor a zvažte dvaparametr rodiny pravděpodobnostních opatření na ${displaystyle M}$, řekněme ${displaystyle (mu _ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ a ${displaystyle (u _ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$. O těchto dvou rodinách se říká, že jsou exponenciálně ekvivalentní pokud existují

• jednoparametrická rodina prostorů pravděpodobnosti ${displaystyle (Omega, Sigma _ {varepsilon}, P_ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$,
• dvě rodiny ${displaystyle M}$-hodnocení náhodných proměnných ${displaystyle (Y_ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ a ${displaystyle (Z_ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$,

takhle

• pro každého ${displaystyle varepsilon> 0}$, ${displaystyle P_ {varepsilon}}$-law (tj opatření vpřed ) z ${displaystyle Y_ {varepsilon}}$ je ${displaystyle mu _ {varepsilon}}$a ${displaystyle P_ {varepsilon}}$- zákon z ${displaystyle Z_ {varepsilon}}$ je ${displaystyle u _ {varepsilon}}$,
• pro každého ${displaystyle delta> 0}$, “${displaystyle Y_ {varepsilon}}$ a ${displaystyle Z_ {varepsilon}}$ jsou dále než ${displaystyle delta}$ oddělený “je a ${displaystyle Sigma _ {varepsilon}}$-měřitelná událost, tj.

${displaystyle {ig {} omega v Omega {ig |} d (Y_ {varepsilon} (omega), Z_ {varepsilon} (omega))> delta {ig}} v Sigmě _ {varepsilon},}$

• pro každého ${displaystyle delta> 0}$,

${displaystyle limsup _ {varepsilon downarrow 0}, varepsilon log P_ {varepsilon} {ig (} d (Y_ {varepsilon}, Z_ {varepsilon})> delta {ig)} = - infty.}$

Dvě rodiny náhodných proměnných ${displaystyle (Y_ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ a ${displaystyle (Z_ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ se také říká, že jsou exponenciálně ekvivalentní.

Vlastnosti

Hlavní použití exponenciální ekvivalence spočívá v tom, že pokud jde o principy velkých odchylek, jsou exponenciálně ekvivalentní rodiny měr nerozeznatelné. Přesněji řečeno, pokud platí princip velkých odchylek ${displaystyle (mu _ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ s dobrým rychlostní funkce ${displaystyle I}$, a ${displaystyle (mu _ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ a ${displaystyle (u _ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ jsou exponenciálně ekvivalentní, pak platí stejný princip velkých odchylek ${displaystyle (u _ {varepsilon}) _ {varepsilon> 0}}$ se stejnou funkcí dobré sazby ${displaystyle I}$.

Reference

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Techniky a aplikace velkých odchylek. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. str. xvi + 396. ISBN  0-387-98406-2. PAN  1619036. (Viz část 4.2.2)