Rovnoměrně rozmístěná celočíselná topologie - Evenly spaced integer topology

v obecná topologie, obor matematiky, rovnoměrně rozmístěná celočíselná topologie je topologie na množině celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} generované rodinou všech aritmetické průběhy.^[1] Jedná se o speciální případ profinitní topologie ve skupině. Tento konkrétní topologický prostor představil Furstenberg (1955) kde to bylo zvyklé prokázat nekonečnost prvočísel.

Konstrukce

Aritmetický postup spojený se dvěma (možná nezřetelnými) čísly A a k, kde ${ displaystyle a, k in mathbb {Z}: k neq 0}$, je množina celých čísel

${ displaystyle a + k mathbb {Z}: = {a + k lambda: lambda v mathbb {Z} }.}$

Dát set ${ displaystyle mathbb {Z}}$ topologie znamená říci který podmnožiny z ${ displaystyle mathbb {Z}}$ jsou otevřeno způsobem, který splňuje následující podmínky axiomy:^[2]

1. The svaz otevřených množin je otevřená množina.
2. Konečný průsečík otevřených množin je otevřená množina.
3. ${ displaystyle mathbb {Z}}$ a prázdná sada Open jsou otevřené sady.

Rodina všech aritmetických posloupností tyto axiomy nesplňuje: spojení aritmetických posloupností nemusí být sama o sobě aritmetickou posloupností, např. {1, 5, 9, …} ∪ {2, 6, 10, …} = {1, 2, 5, 6, 9, 10, …} není aritmetický postup. Rovnoměrně rozmístěná celočíselná topologie je tedy definována jako topologie generováno uživatelem rodina aritmetických posloupností. To je nejhrubší topologie který zahrnuje jako otevřené podmnožiny rodinu všech aritmetických postupů: to znamená, že aritmetické průběhy jsou a podklad pro topologii. Vzhledem k tomu, že průsečík jakékoli konečné kolekce aritmetických posloupností je opět aritmetickým posloupností, je rodina aritmetických posloupností základna pro topologii, což znamená, že každá otevřená množina je spojením aritmetických postupů.^[1]

Vlastnosti

Furstenbergova celá čísla jsou oddělitelná a měřitelná, ale neúplná. Podle Urysohnova metrizační věta, jsou pravidelné a Hausdorff.^[3][4]

Poznámky

Reference

• Furstenberg, Harry (1955), „O nekonečnosti prvočísel“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 62 (5): 353, doi:10.2307/2307043, JSTOR  2307043, PAN  0068566.
• Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Protiklady v topologii, Dover, str. 80–81, ISBN  0-486-68735-X.