Věčná dominující sada - Eternal dominating set

v teorie grafů, an věčná dominující sada pro graf G = (PROTI, E) je podmnožina D z PROTI takhle D je dominující sada na kterém jsou původně umístěny mobilní stráže (na jednom vrcholu může být umístěn nejvýše jeden strážce). Sada D musí být takové, aby pro každou nekonečnou sekvenci útoků, které se vyskytují postupně na vrcholech, množina D lze upravit přesunutím stráže ze sousedního vrcholu na napadený vrchol, za předpokladu, že napadený vrchol nemá v době útoku žádný strážný. Konfigurace stráží po každém útoku musí vyvolat dominující sadu. The věčné číslo nadvlády, y∞(G), je minimální počet vrcholů možný v počáteční saděD. Například věčné číslo nadvlády cyklu na pěti vrcholech je dva.

Problém věčné dominující množiny, známý také jako problém věčné dominance a problém věčné bezpečnosti, lze také interpretovat jako kombinatorická hra hraje se mezi dvěma hráči, kteří střídají tahy: obráncem, který si vybere počáteční dominující set D a strážný vyslat na každý útok, ke kterému dojde na vrcholu bez stráže; a útočník, který si na svém tahu zvolí vrchol, který má být napaden. Útočník vyhraje hru, pokud si může vybrat vrchol, který má být napaden, takže na tomto vrcholu nebo sousedním vrcholu není žádná stráž; obránce vyhraje jinak. Jinými slovy, útočník vyhraje hru, pokud může někdy zaútočit na vrchol, takže útok nelze obhájit.

Jak je uvedeno v Klostermeyer & Mynhardt (2015b), problém věčné dominující množiny souvisí s k-server problém v informatice.

Dějiny

Motivováni starodávnými problémy vojenské obrany popsanými v sérii příspěvků Arquilla & Fredricksen (1995), ReVelle (1997), ReVelle & Rossing (1999), a Stewart (1999), problém věčné nadvlády byl původně popsán v roce 2004 v článku od Burger, Cockayne & Grundlingh (2004). Poté následovalo zveřejnění článku o věčné nadvládě od Goddard, Hedetniemi & Hedetniemi (2005), který také zavedl variaci na volaný problém m- věčná nadvláda, při které se všem strážným může pohybovat do sousedních vrcholů, pokud si to přejí, v reakci na útok, pokud se jeden strážný přesune na napadený vrchol (za předpokladu, že na napadeném vrcholu nebyl strážný, jinak se žádný strážný nemusí hýbat) Goddard, Hededtniemi & Hedetniemi (2005) papír, v matematické literatuře se objevila řada příspěvků od jiných autorů. V těchto následujících příspěvcích bylo navrženo několik dalších variací problému věčné dominance, včetně problému krytí věčné vrcholy, problému věčné nezávislé množiny, věčných celkových dominujících množin, věčných spojených dominujících množin a věčných dominujících sad v modelu vystěhování (druhý model vyžaduje, že když dojde k útoku, vrchol se strážcem a stráž se musí přesunout na sousední vrchol, který neobsahuje žádnou stráž, pokud existuje). Průzkumový dokument popisující mnoho výsledků týkajících se problému věčné nadvlády a mnoho variant tohoto problému lze nalézt na Klostermeyer & Mynhardt (2015b).

Meze

Nechat G být graf s n ≥ 1 vrcholy. Triviálně je věčné číslo dominance přinejmenším číslo dominance γ (G). Goddard, Hedetniemi a Hedetniemi ve svém příspěvku prokázali, že číslo věčné dominance je přinejmenším počet nezávislostí G a nanejvýš počet krycích klik G (počet krycích klik G se rovná chromatické číslo doplňku G). Proto je číslo věčné nadvlády G se rovná počtu překrytí kliky G pro všechny dokonalé grafy, kvůli dokonalá věta o grafu. Bylo prokázáno, že počet věčné nadvlády G se rovná počtu překrytí kliky G pro několik dalších tříd grafů, například kruhové obloukové grafy (jak je prokázáno v Regan (2007) ) a sériově paralelní grafy (jak je prokázáno v Anderson, Barrientos & Brigham (2007)). Goddard, Hedetniemi a Hedetniemi také demonstrovali graf, ve kterém je věčné číslo dominance grafu menší než číslo pokrývající kliku.

Bylo prokázáno Klostermeyer & MacGillivray (2007) že věčné číslo nadvlády grafu s číslem nezávislosti α je nejvíce α(α + 1)/2. Goldwasser & Klostermeyer (2008) dokázal, že existuje nekonečně mnoho grafů, kde je věčné číslo nadvlády přesně α(α + 1)/2.

Hranice na m-číslo věčné nadvlády

Goddard, Hedetniemi a Hedetniemi prokázali m- věčné dominantní číslo, označené ym∞(G), je maximálně počet nezávislostí G. Parametry věčné dominance tedy pěkně zapadají do slavného řetězce dominance parametrů, viz (Haynes, Hedetniemi & Slater 1998a ), jak následuje:

γ (G) ≤ ym∞(G) ≤ α (G) ≤ y∞(G) ≤ θ(G)

kde θ(G) označuje počet zakrývajících kliky G a y∞(G) označuje věčné dominantní číslo.

Horní mez ⌈n/ 2⌉ zapnuto ym∞(G) pro grafy s n vrcholy byly prokázány v Chambers, Kinnersly & Prince (2006), viz také Klostermeyer & Mynhardt (2015b).

The m- věčné číslo dominance v mřížkových grafech přitahovalo pozornost, inspirováno pozorností věnovanou počtu dominancí v mřížkových grafech, viz Haynes, Hedetniemi & Slater (1998a) a Goncalves, Pinlou & Rao (2011). The m- věčné číslo dominance v mřížkových grafech bylo poprvé studováno v roce Goldwasser, Klostermeyer & Mynhardt (2013) kde se to ukázalo

ym∞ = ⌈2n/ 3⌉ pro 2 od n mřížka s n ≥ 2

a

ym∞ ≤ ⌈8n/ 9⌉ pro 3 o n mřížky.

Ten byl vylepšen v Finbow, Messinger a van Bommel (2015) na

1 + ⌈4n/5⌉ ≤ ym∞ ≤ 2 + ⌈4n/5⌉

když n ≥ 11. Tato vazba byla následně mírně vylepšena v Messinger & Delaney (2015) v některých případech. Nakonec byly hranice uzavřeny Finbow & van Bommel (2020), kde se to ukázalo

ym∞ = ⌈(4n+7) / 5⌉ pro n ≥ 22.

Případy pro 4 a mřížky a 5 pro n mřížky byly zvažovány v Beaton, Finbow a MacDonald (2013) a van Bommel & van Bommel (2015), resp.

Braga, de Souza & Lee (2015) dokázal to ym∞ = α u všech správných intervalových grafů a stejných autorů také prokázáno, viz Braga, de Souza & Lee (2016), že existuje a Cayleyův graf pro které m- věčné číslo dominance se nerovná číslu dominance, na rozdíl od nároku v Goddard, Hededtniemi & Hedetniemi (2005).

Otevřené otázky

Podle Klostermeyer & Mynhardt (2015b), jednou z hlavních nevyřešených otázek je následující: Existuje graf G takhle y(G) se rovná věčnému počtu nadvlády G a y(G) je menší než počet pokrývající kliky G? Klostermeyer & Mynhardt (2015a) dokázal, že jakýkoli takový graf musí obsahovat trojúhelníky a musí mít maximální stupeň vrcholů alespoň čtyři.

Podobný Vizingova domněnka u dominujících množin není známo, zda u všech grafů G a H

Je známo, že analogická vazba neplatí pro všechny grafy G a H pro m- problém věčné nadvlády, jak je uvedeno v Klostermeyer & Mynhardt (2015a).

Jsou uvedeny dvě základní otevřené otázky o věčné nadvládě Douglas West na [1]. Jmenovitě, zda y∞(G) se rovná číslu pokrytí kliky pro všechny rovinné grafy G a zda y∞(G) může být ohraničen níže Lovászovo číslo, známá také jako funkce Lovász theta.

Řada dalších otevřených otázek je uvedena v anketě Klostermeyer & Mynhardt (2015b), včetně mnoha otázek o výše zmíněných variantách věčných dominujících sad.

Reference

  • Anderson, M .; Barrientos, C .; Brigham, R .; Carrington, J .; Vitray, R .; Yellen, J. (2007), „Grafy maximální poptávky po věčném zabezpečení“, J. Combin. Matematika. Kombinovat. Comput., 61: 111–128.
  • Arquilla, H .; Frederickson, H. (1995), „Grafování optimální velké strategie“, Výzkum vojenských operací, 1 (3): 3–17, doi:10.5711 / morj.1.3.3, hdl:10945/38438.
  • Beaton, I .; Finow, S .; MacDonald, J. (2013), „Věčná nadvláda nastavuje problém sítí“, J. Combin. Matematika. Kombinovat. Comput., 85: 33–38.
  • Braga, A .; de Souza, C .; Lee, O. (2015), „The večere dominating set problem for proper interval graphs“, Dopisy o zpracování informací, 115 (6–8): 582–587, doi:10.1016 / j.ipl.2015.02.004.
  • Braga, A .; de Souza, C .; Lee, O. (2016), „Poznámka k článku„ Věčná bezpečnost v grafech “od Goddarda, Hedetniemi a Hedetniemi (2005)“, Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, 96: 13–22.
  • Burger, A.P .; Cockayne, E.J .; Grundlingh, W.R .; Mynhardt, C.M .; van Vuuren, J .; Winterbach, W. (2004), „Nekonečná dominance řádů v grafech“, J. Combin. Matematika. Kombinovat. Comput., 50: 179–194.
  • Chambers, E .; Kinnnersly, B .; Prince, N. (2006), „Věčné zabezpečení mobilních zařízení v grafech“, Nepublikovaný rukopis, archivovány z originál dne 30. 09. 2015, vyvoláno 2015-02-21.
  • Finbow, S .; Messinger, M-E .; van Bommel, M. (2015), „Věčná nadvláda v mřížkách 3 x n“, Australas. J. Combin., 61: 156–174.
  • Finbow, S .; van Bommel, M.F. (2020), „Věčné číslo nadvlády pro 3 x n mřížkové grafy“, Australas. J. Combin., 71: 1–23.
  • Goldwasser, J .; Klostermeyer, W. (2008), „Tight bounds for eternal dominating sets in graphs“, Diskrétní matematika., 308 (12): 2589–2593, doi:10.1016 / j.disc.2007.06.005.
  • Goldwasser, J .; Klostermeyer, W .; Mynhardt, C. (2013), „Věčná ochrana v mřížkových grafech“, Utilitas Math., 91: 47–64.
  • Goncalves, D .; Pinlou, A .; Rao, M .; Thomasse, S. (2011), „Převládající počet sítí“, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 25 (3): 1443–1453, arXiv:1102.5206, doi:10.1137/11082574.
  • Haynes, Teresa W.; Hedetniemi, Stephen; Slater, Peter (1998a), Základy dominance v grafechMarcel Dekker, ISBN  0-8247-0033-3, OCLC  37903553.
  • Klostermeyer, W .; MacGillivray, G. (2007), „Věčná bezpečnost v grafech čísla pevné nezávislosti“, J. Combin. Matematika. Kombinovat. Comput., 63: 97–101.
  • Klostermeyer, W .; Mynhardt, C. (2015a), „Dominance, Eternal Domination, and Clique Covering“, Diskutujte. Matematika. Teorie grafů, 35 (2): 283, arXiv:1407.5235, doi:10,7151 / dmgt.1799.
  • Klostermeyer, W .; Mynhardt, C. (2015b), „Ochrana grafu pomocí mobilních stráží“, Použitelná analýza a diskrétní matematika, 10: 21, arXiv:1407.5228, doi:10,2298 / aadm151109021k.
  • Messinger, M-E .; Delaney, A. (2015), Uzavření mezery: Věčná nadvláda na mřížkách 3 x n.
  • Regan, F. (2007), Dynamické varianty dominance a nezávislosti v grafech, Rheinischen Friedrich-Wilhlems University.
  • ReVelle, C. (2007), „Dokážete chránit Římskou říši?“, Časopis Johns Hopkins, 2.
  • ReVelle, C .; Rosing, K. (2000), „Defendens Imperium Romanum: Klasický problém ve vojenské strategii“, Amer. Matematika. Měsíční, 107 (7): 585–594, doi:10.2307/2589113, JSTOR  2589113.
  • Stewart, I. (1999), „Defend the Roman Empire!“, Scientific American, 281 (6): 136–138, Bibcode:1999SciAm.281f.136S, doi:10.1038 / scientificamerican1299-136.
  • van Bommel, C .; van Bommel, M. (2016), „Eternal dominance number of 5 x n grids“, J. Combin. Matematika. Kombinovat. Comput, 97: 83–102.