Nerovnost Etemadis - Etemadis inequality - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Etemadiho nerovnost je takzvaná „maximální nerovnost“, an nerovnost který dává vazbu na pravděpodobnost že částečné částky a konečný sbírka nezávislé náhodné proměnné překročit určitou zadanou hranici. Výsledek je způsoben Nasrollah Etemadi.

Prohlášení o nerovnosti

Nechat X₁, ..., X_n být nezávislé reálné náhodné proměnné definované na některých společných pravděpodobnostní prostor a nechte α ≥ 0. Let S_k označte částečný součet

${ displaystyle S_ {k} = X_ {1} + cdots + X_ {k}. ,}$

Pak

${ displaystyle Pr { Bigl (} max _ {1 leq k leq n} | S_ {k} | geq 3 alpha { Bigr)} leq 3 max _ {1 leq k leq n} Pr { bigl (} | S_ {k} | geq alpha { bigr)}.}$

Poznámka

Předpokládejme, že náhodné proměnné X_k mít společné očekávaná hodnota nula. Aplikovat Čebyševova nerovnost na pravou stranu nerovnosti Etemadi a nahradit α podle α / 3. Výsledek je Kolmogorovova nerovnost s faktorem 27 navíc na pravé straně:

${ displaystyle Pr { Bigl (} max _ {1 leq k leq n} | S_ {k} | geq alpha { Bigr)} leq { frac {27} { alpha ^ { 2}}} operatorname {var} (S_ {n}).}$

Reference

• Billingsley, Patrick (1995). Pravděpodobnost a míra. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2. (Věta 22.5)
• Etemadi, Nasrollah (1985). "O některých klasických výsledcích v teorii pravděpodobnosti". Sankhya Ser. A. 47 (2): 215–221. JSTOR  25050536. PAN  0844022.