Polynom enumerátoru - Enumerator polynomial

v teorie kódování, váhový výčet polynom binárního souboru lineární kód specifikuje počet slov každého možného Hammingova hmotnost.

Nechat ${ displaystyle C podmnožina mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ být délka binárního lineárního kódu ${ displaystyle n}$ . The rozložení hmotnosti je posloupnost čísel

{ displaystyle A_ {t} = # {c v C mid w (c) = t }}

s uvedením počtu kódová slova C v C mít váhu t tak jako t se pohybuje od 0 do n. The enumerátor hmotnosti je dvojrozměrný polynomiální

{ displaystyle W (C; x, y) = součet _ {w = 0} ^ {n} A_ {w} x ^ {w} y ^ {n-w}.}

Základní vlastnosti

${ displaystyle W (C; 0,1) = A_ {0} = 1}$
${ displaystyle W (C; 1,1) = součet _ {w = 0} ^ {n} A_ {w} = | C |}$
${ displaystyle W (C; 1,0) = A_ {n} = 1 { mbox {if}} (1, ldots, 1) v C { mbox {a}} 0 { mbox {jinak }}}$
${ displaystyle W (C; 1, -1) = součet _ {w = 0} ^ {n} A_ {w} (- 1) ^ {nw} = A_ {n} + (- 1) ^ {1 } A_ {n-1} + ldots + (- 1) ^ {n-1} A_ {1} + (- 1) ^ {n} A_ {0}}$

MacWilliamova identita

Označte duální kód z ${ displaystyle C podmnožina mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ podle

{ displaystyle C ^ { perp} = {x in mathbb {F} _ {2} ^ {n} , mid , langle x, c rangle = 0 { mbox {}} pro všechny c v C }}

(kde ${ displaystyle langle , rangle}$ označuje vektor Tečkovaný produkt a která je převzata ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$ ).

The MacWilliamova identita tvrdí, že

{ displaystyle W (C ^ { perp}; x, y) = { frac {1} { střední C střední}} W (C; y-x, y + x).}

Identita je pojmenována po Jessie MacWilliams.

Výčet vzdálenosti

The rozdělení vzdálenosti nebo vnitřní distribuce kódu C velikosti M a délka n je posloupnost čísel

{ displaystyle A_ {i} = { frac {1} {M}} # vlevo lbrace (c_ {1}, c_ {2}) v C krát C mid d (c_ {1}, c_ {2}) = i right rbrace}

kde i se pohybuje od 0 do n. The polynom počítadla vzdáleností je

{ displaystyle A (C; x, y) = součet _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} x ^ {i} y ^ {n-i}}

a kdy C je lineární to se rovná počítadlu hmotnosti.

The vnější distribuce z C je 2ⁿ-podle-n+1 matice B s řádky indexovanými podle prvků GF (2)ⁿ a sloupce indexované celými čísly 0 ...na položky

{ displaystyle B_ {x, i} = # levá lbrace c v C střední d (c, x) = i pravá vzpěra.}

Součet řádků B je M krát vnitřní distribuční vektor (A₀,...,A_n).

Kód C je pravidelný pokud řádky B odpovídající kódovým slovům z C jsou si všichni rovni.

Reference

Hill, Raymond (1986). První kurz teorie kódování. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press. str.165–173. ISBN 0-19-853803-0.
Pless, Vero (1982). Úvod do teorie kódů opravujících chyby. Wiley-Interscience Series v diskrétní matematice. John Wiley & Sons. 103–119. ISBN 0-471-08684-3.
J.H. van Lint (1992). Úvod do teorie kódování. GTM. 86 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54894-7. Kapitoly 3.5 a 4.3.