Ehrhartsův dohad o objemu - Ehrharts volume conjecture - Wikipedia

V geometrie čísel, Ehrhartův dohad o objemu dává horní hranici objemu a konvexní tělo obsahující pouze jeden mřížový bod v jeho vnitřku. Je to druh konverzace Minkowského věta, což zaručuje, že centrálně symetrické konvexní tělo K. jakmile jeho objem překročí, musí obsahovat mřížkový bod ${ displaystyle 2 ^ {n}}$. Domněnka uvádí, že konvexní tělo K. obsahující pouze jeden mřížový bod v jeho vnitřku barycentrum nemůže mít objem větší než ${ displaystyle (n + 1) ^ {n} / n!}$:

${ displaystyle operatorname {Vol} (K) leq { frac {(n + 1) ^ {n}} {n!}}.}$

Rovnosti je v této nerovnosti dosaženo, když ${ displaystyle K = (n + 1) Delta _ {n}}$ je kopií souboru standardní simplex v euklidovštině n-dimenzionální prostor, jehož strany jsou zvětšeny faktorem ${ displaystyle n + 1}$. Ekvivalentně ${ displaystyle K = (n + 1) Delta _ {n}}$ je shodný s konvexním trupem vektorů ${ displaystyle - sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {i}}$, a ${ displaystyle n mathbf {e} _ {i}}$. Tímto způsobem je počátek jediným vnitřním mřížkovým bodem konvexního tělesa K..

Domněnka dále tvrdí, že rovnosti je dosaženo ve výše uvedené nerovnosti právě tehdy K. je unimodularly ekvivalentní ${ displaystyle (n + 1) Delta _ {n}}$.

Ehrhart dokázal domněnku v dimenzi 2 a v případě jednoduchostí.

Reference

• Benjamin Nill; Andreas Paffenholz (2014), „K případu rovnosti v Erhartově objemovém dohadu“, Pokroky v geometrii, 14 (4): 579–586, arXiv:1205.1270, doi:10.1515 / advgeom-2014-0001, ISSN  1615-7168.

Tento související s geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.