Dynamická relaxace - Dynamic relaxation

Dynamická relaxace je numerická metoda, kterou lze mimo jiné použíthledání formy " pro kabelové a látkové struktury. Cílem je najít geometrii, kde jsou všechny síly rovnováha. V minulosti se to dělo přímým modelováním pomocí závěsných řetězů a závaží (viz Gaudí ), nebo pomocí mýdlové filmy, které mají tu vlastnost, že se vyhledajíminimální povrch ".

Metoda dynamické relaxace je založena na diskretizaci uvažovaného kontinua soustředěním hmoty v uzlech a definováním vztahu mezi uzly z hlediska tuhosti (viz také konečný element metoda). Systém vlivem zátěží osciluje kolem rovnovážné polohy. Po iteračním procesu následuje simulace pseudo-dynamický proces v čase, s každou iterací založenou na aktualizaci geometrie,^[1] podobný Integrace přeskočení a související s rychlostí Integrace verletů.

Použití hlavních rovnic

S ohledem na Newtonův druhý zákon pohybu (síla je hmotnost vynásobená zrychlením) v ${displaystyle x}$ směr na ${displaystyle i}$ ^th uzel v čase ${displaystyle t}$ :

{displaystyle R_ {ix} (t) = M_ {i} A_ {ix} (t) {frac {} {}}}

Kde:

{displaystyle R}

je zbytková síla

{displaystyle M}

je uzlová hmota

{displaystyle A}

je uzlové zrychlení

Pamatujte, že k urychlení procesu hledání formy lze zvolit fiktivní masy uzlů.

Vztah mezi rychlostí ${displaystyle V}$ , geometrie ${displaystyle X}$ a zbytky lze získat provedením dvojité numerické integrace zrychlení (zde v centrální konečný rozdíl formulář^[2]), :

{displaystyle V_ {ix} left (t + {frac {Delta t} {2}} ight) = V_ {ix} left (t- {frac {Delta t} {2}} ight) + {frac {Delta t} { M_ {i}}} R_ {ix} (t)}

{displaystyle X_ {i} (t + Delta t) = X_ {i} (t) + Delta t je V_ {ix} vlevo (t + {frac {Delta t} {2}} vpravo)}

Kde:

{displaystyle Delta t}

je časový interval mezi dvěma aktualizacemi.

Principem rovnováhy sil lze získat vztah mezi zbytky a geometrií:

{displaystyle R_ {ix} (t ​​+ Delta t) = P_ {ix} (t ​​+ Delta t) + součet {frac {T_ {m} (t + Delta t)} {l_ {m} (t + Delta t) }} obrázky (X_ {j} (t + Delta t) -X_ {i} (t + Delta t))}

kde:

{displaystyle P}

je použitá složka zatížení

{displaystyle T}

je napětí v odkazu

{displaystyle m}

mezi uzly

{displaystyle i}

a

{displaystyle j}

{displaystyle l}

je délka odkazu.

Součet musí pokrývat síly ve všech spojích mezi uzlem a ostatními uzly. Opakováním použití vztahu mezi zbytky a geometrií a vztahu mezi geometrií a zbytkem je simulován pseudo-dynamický proces.

Iterační kroky

1. Nastavte počáteční kinetickou energii a všechny komponenty uzlové rychlosti na nulu:

{displaystyle E_ {k} (t = 0) = 0 {frac {} {}}}

{displaystyle V_ {i} (t = 0) = 0 {frac {} {}}}

2. Vypočítejte sadu geometrie a použitou složku zatížení:

{displaystyle X_ {i} (t = 0) {frac {} {}}}

{displaystyle P_ {i} (t = 0) {frac {} {}}}

3. Vypočítejte zbývající:

{displaystyle T_ {m} (t) {frac {} {}}}

{displaystyle R_ {i} (t) {frac {} {}}}

4. Vynulujte zbytky omezených uzlů na nulu

5. Aktualizujte rychlost a souřadnice:

{displaystyle V_ {i} (t + {frac {Delta t} {2}}) {frac {} {}}}

{displaystyle X_ {i} (t + Delta t) {frac {} {}}}

6. Vraťte se ke kroku 3, dokud nebude struktura statická rovnováha

Tlumení

Pomocí tlumení je možné zefektivnit dynamickou relaxaci (snížení počtu iterací).^[3]Existují dva způsoby tlumení:

Viskózní tlumení, které předpokládá, že spojení mezi uzly má viskózní složku síly.
Tlumení kinetické energie, kde se počítají souřadnice na špičkové kinetické energii (rovnovážná poloha), poté aktualizuje geometrii do této polohy a vynuluje rychlost na nulu.

Výhodou viskózního tlumení je to, že představuje realitu kabelu s viskózními vlastnostmi. Navíc je snadné si to uvědomit, protože rychlost je již vypočítána. Tlumení kinetické energie je umělé tlumení, které není skutečným efektem, ale nabízí drastické snížení počtu iterací potřebných k nalezení řešení. Existuje však výpočetní pokuta v tom, že musí být vypočítána kinetická energie a umístění píku, poté musí být geometrie aktualizována na tuto pozici.

Viz také

Další čtení

Den S, Úvod do dynamické relaxace. Inženýr 1965, 219: 218–221
W J LEWIS, STRUKTURY NAPĚTÍ: Forma a chování, Londýn, Telford, 2003
D S WAKEFIELD, Inženýrská analýza napěťových struktur: teorie a praxe, Bath, Tensys Limited, 1999
H.A. BUCHHOLDT, Úvod do kabelových střešních konstrukcí, 2. vydání, Londýn, Telford, 1999

Reference

^ W J LEWIS, STRUKTURY NAPĚTÍ: Forma a chování, Londýn, Telford, 2003
^ D S WAKEFIELD, Inženýrská analýza napěťových struktur: teorie a praxe, Bath, Tensys Limited, 1999
^ W J LEWIS, STRUKTURY NAPĚTÍ: Forma a chování, Londýn, Telford, 2003

[1] W J LEWIS, STRUKTURY NAPĚTÍ: Forma a chování, Londýn, Telford, 2003

[2] D S WAKEFIELD, Inženýrská analýza napěťových struktur: teorie a praxe, Bath, Tensys Limited, 1999

[3] W J LEWIS, STRUKTURY NAPĚTÍ: Forma a chování, Londýn, Telford, 2003

[1]

[2]

[3]