Zdvojnásobení prostoru - Doubling space - Wikipedia

v matematika, a metrický prostor $X$ s metrikou $d$ se říká, že je zdvojnásobení pokud existuje nějaká zdvojnásobující konstanta $M > 0$ takový, že pro každého $X \in X$ a $r > 0$ , je možné míč zakrýt $B (X, r) = {y | d (X, y) < r}$ s unií maximálně $M$ koule o poloměru $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} r / 2$ .^[1] Logaritmus základny-2 $M$ se často označuje jako zdvojnásobení dimenze z $X$ . Euklidovské prostory $ℝ d$ vybavené obvyklou euklidovskou metrikou jsou příklady zdvojnásobujících prostorů, kde zdvojnásobovací konstanta $M$ záleží na dimenzi $d$ . Například v jedné dimenzi $M = 2$ ; a ve dvou rozměrech, $M = 7$ .^[2]

Assouadova věta o vložení

Důležitou otázkou v geometrii metrického prostoru je charakterizovat ty metrické prostory, které lze vložit do nějakého euklidovského prostoru pomocí bi-Lipschitz funkce. To znamená, že lze metrický prostor v podstatě považovat za podmnožinu euklidovského prostoru. Ne všechny metrické prostory mohou být vloženy do euklidovského prostoru. Na druhou stranu zdvojnásobení metrických prostor by se zdálo, že mají větší šanci, protože podmínka zdvojnásobení určitým způsobem říká, že metrický prostor není nekonečný rozměrný. Obecně to však stále neplatí. The Skupina Heisenberg s jeho Carnotova metrika je příkladem zdvojnásobení metrického prostoru, který nelze vložit do žádného euklidovského prostoru.^[3]

Assouadova věta uvádí, že pro a M- zdvojnásobení metrického prostoru X, dáme-li tomu metriku d(X, y)^ε pro některé 0 <ε <1, pak existuje Lmapa -bi-Lipschitz F:X → ℝ^d, kde d a L záleží na M aε.

Zdvojnásobení opatření

Definice

Netriviální opatření v metrickém prostoru X se říká, že je zdvojnásobení jestliže míra kteréhokoli míčku je konečná a přibližně míra jeho dvojnásobku, přesněji řečeno, pokud existuje konstanta C > 0 takových

{ Displaystyle 0 < mu (B (x, 2r)) leq C mu (B (x, r)) < infty ,}

pro všechny X v X a r > 0. V tomto případě říkáme μ je C-zdvojnásobení.

Prostor metrické míry podporující zdvojnásobující míru je nutně zdvojnásobující metrický prostor, kde zdvojnásobující konstanta závisí na konstantěC. Naopak jakýkoli kompletní zdvojnásobení metrického prostoru podporuje zdvojnásobení.^[4]^[5]

Příklady

Jednoduchým příkladem opatření zdvojnásobení je Lebesgueovo opatření na euklidovském prostoru. Lze však přijmout dvojnásobná opatření týkající se euklidovského prostoru jednotné číslo s ohledem na Lebesgueovo opatření. Jedním příkladem na skutečné linii je slabý limit z následujícího sledu opatření:^[6]

{ displaystyle d mu _ {n} = prod _ {i = 1} ^ {n} (1 + a cos (3 ^ {i} 2 pi x)) , dx, ; ; ; | a | <1.}

Lze sestavit další singulární míru zdvojnásobení μ v intervalu [0, 1] následovně: pro každý k ≥ 0, rozdělte jednotkový interval [0,1] na 3^k intervaly délky 3^−k. Nechť Δ je soubor všech těchto intervalů v [0,1] získaný pro každý z nich k (tohle jsou triadické intervaly) a pro každý takový interval Já, nechť m(Já) označuje jeho „střední třetinu“ interval. Opravit 0 <δ <1 a nechte μ být takovým opatřením μ([0, 1]) = 1 a pro každý triadický interval Já, μ(m(Já)) = δμ(Já). Pak to dává zdvojnásobení míry na [0, 1] singuláru k Lebesgueově míře.^[7]

Aplikace

Definice opatření zdvojnásobení se může zdát libovolná nebo čistě geometrického zájmu. Mnoho však vyplývá z klasické harmonické analýzy a výpočetní geometrie rozšířit na nastavení metrických prostorů se zdvojnásobením opatření.

Reference

^ Heinonen, Juha (2001). Přednášky o analýze na metrických prostorech. Universitext. New York: Springer-Verlag. str. x + 140. ISBN 0-387-95104-0.
^ W., Weisstein, Eric. „Problém s krytím disku“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-03-03.
^ Pansu, Pierre (1989). „Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un“. Ann. matematiky. 2. 129 (1): 1–60. doi:10.2307/1971484. JSTOR 1971484.
^ Luukainen, Jouni; Saksman, Eero (1998). „Každý úplný metrický prostor pro zdvojnásobení nese zdvojnásobení“. Proc. Amer. Matematika. Soc. 126 (2): 531–534. doi:10.1090 / s0002-9939-98-04201-4.
^ Jouni, Luukkainen (1998). „ROZMĚR ASSOUAD: ANTIFRACTAL METRIZATION, POROUS SETS, and HOMOGENEOUS OPATŘENÍ“. Journal of the Korean Mathematical Society. 35 (1). ISSN 0304-9914.
^ Zygmund, A. (2002). Trigonometrická řada. Sv. I, II. Cambridge Mathematical Library (třetí vydání). Cambridge University Press. str. xii, sv. I: xiv + 383 stran, sv. II: viii + 364. ISBN 0-521-89053-5.
^ Kahane, J.-P. (1969). "Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires". Matematika Enseignement. (2). 15: 185–192.

[1] Heinonen, Juha (2001). Přednášky o analýze na metrických prostorech. Universitext. New York: Springer-Verlag. str. x + 140. ISBN 0-387-95104-0.

[2] W., Weisstein, Eric. „Problém s krytím disku“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2018-03-03.

[3] Pansu, Pierre (1989). „Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un“. Ann. matematiky. 2. 129 (1): 1–60. doi:10.2307/1971484. JSTOR 1971484.

[4] Luukainen, Jouni; Saksman, Eero (1998). „Každý úplný metrický prostor pro zdvojnásobení nese zdvojnásobení“. Proc. Amer. Matematika. Soc. 126 (2): 531–534. doi:10.1090 / s0002-9939-98-04201-4.

[5] Jouni, Luukkainen (1998). „ROZMĚR ASSOUAD: ANTIFRACTAL METRIZATION, POROUS SETS, and HOMOGENEOUS OPATŘENÍ“. Journal of the Korean Mathematical Society. 35 (1). ISSN 0304-9914.

[6] Zygmund, A. (2002). Trigonometrická řada. Sv. I, II. Cambridge Mathematical Library (třetí vydání). Cambridge University Press. str. xii, sv. I: xiv + 383 stran, sv. II: viii + 364. ISBN 0-521-89053-5.

[7] Kahane, J.-P. (1969). "Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires". Matematika Enseignement. (2). 15: 185–192.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]