Metoda Dormand – Prince - Dormand–Prince method

v numerická analýza, Dormand – Prince (RKDP) metoda nebo Metoda DOPRI, je explicitní metoda řešení obyčejné diferenciální rovnice (Dormand & Prince 1980 ). Metoda je členem Runge – Kutta rodina řešitelů ODE. Přesněji, používá šest vyhodnocení funkcí k výpočtu přesných řešení čtvrtého a pátého řádu. Rozdíl mezi těmito řešeními se pak považuje za chybu řešení (čtvrtého řádu). Tento odhad chyby je velmi vhodný pro adaptivní integrační algoritmy s postupnou velikostí. Další podobné metody integrace jsou Fehlberg (RKF) a Hotovost - Karp (RKCK).

Metoda Dormand-Prince má sedm fází, ale používá pouze šest vyhodnocení funkcí na krok, protože má vlastnost FSAL (First Same As Last): poslední fáze je hodnocena ve stejném bodě jako první fáze dalšího kroku. Dormand a Prince zvolili koeficienty své metody, aby minimalizovali chybu řešení pátého řádu. To je hlavní rozdíl oproti Fehlbergově metodě, která byla zkonstruována tak, aby řešení čtvrtého řádu mělo malou chybu. Z tohoto důvodu je metoda Dormand-Prince vhodnější, když se k pokračování integrace používá řešení vyššího řádu, což je praxe známá jako lokální extrapolace (Shampine 1986; Hairer, Nørsett & Wanner 2008, s. 178–179).

Dormand – Prince je aktuálně výchozí metoda v ode45 řešitel pro MATLAB a GNU oktáva a je výchozí volbou pro Simulink řešitel průzkumníků modelů. Je to možnost v Scipy knihovna integrace ODE.^[1]Fortran,^[2] Jáva, ^[3] a C ++^[4]k dispozici jsou také implementace.

The Řeznické tablo je:

První řada b koeficienty dává přesné řešení pátého řádu a druhý řádek poskytuje alternativní řešení, které po odečtení od prvního řešení poskytne odhad chyby.

Poznámky

Reference

• Implementace softwaru v MATLAB: https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html
• Implementace v GNU oktáva: https://octave.org/doc/interpreter/Matlab_002dcompatible-solvers.html#Matlab_002dcompatible-solvers
• Implementace v Python (programovací jazyk)  : https://web.archive.org/web/20150907215914/http://adorio-research.org/wordpress/?p=6565
• Dormand, J. R .; Prince, P. J. (1980), „Rodina vložených vzorců Runge-Kutta“, Journal of Computational and Applied Mathematics, 6 (1): 19–26, doi:10.1016 / 0771-050X (80) 90013-3.
• Dormand, John R. (1996), Numerické metody pro diferenciální rovnice: výpočetní přístup, Boca Raton: CRC Press, s. 82–84, ISBN  0-8493-9433-3.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (2008), Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiffovy problémy, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56670-0.
• Shampine, Lawrence F. (1986), „Some Practical Runge-Kutta Formulas“, Matematika výpočtu Americká matematická společnost, 46 (173): 135–150, doi:10.2307/2008219, JSTOR  2008219.

Další čtení

• Engstler, C., a Lubich, C. (1997). MUR8: mnohonásobné rozšíření metody Dormand-Prince osmého řádu. Aplikovaná numerická matematika, 25 (2-3), 185-192.
• Calvo, M., Montijano, J. I., & Randez, L. (1990). Interpolant pátého řádu pro metodu Dormand a Prince Runge-Kutta. Journal of Computational and Applied Mathematics, 29(1), 91-100.
• Aristoff, J. M., Horwood, J. T., & Poore, A. B. (2014). Šíření oběžné dráhy a nejistoty: srovnání přístupů založených na Gauss - Legendre - Dormand - Prince - a Čebyšev - Picard. Nebeská mechanika a dynamická astronomie, 118 (1), 13-28.
• Seen, W. M., Gobithaasan, R. U., & Miura, K. T. (2014, červenec). GPU akcelerace Runge Kutta-Fehlberg a její srovnání s metodou Dormand-Prince. Ve sborníku z konference AIP (sv. 1605, č. 1, s. 16-21). AIP.