Runge – Kutta – Fehlbergova metoda - Runge–Kutta–Fehlberg method

v matematika, Runge – Kutta – Fehlbergova metoda (nebo Fehlbergova metoda) je algoritmus v numerická analýza pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Byl vyvinut německým matematikem Erwin Fehlberg a je založen na velké třídě Metody Runge – Kutta.

Novinkou Fehlbergovy metody je, že jde o vestavěnou metodu^{[je nutná definice ]} z Rodina Runge – Kutta, což znamená, že identická vyhodnocení funkcí se používají ve vzájemném spojení k vytváření metod různého pořadí a podobných chybových konstant. Metoda uvedená v Fehlbergově článku z roku 1969 byla nazvána RKF45 metoda, a je to metoda řádu O (h⁴) s odhadem chyb řádu O (h⁵).^[1] Provedením jednoho výpočtu navíc lze odhadnout a kontrolovat chybu v řešení pomocí vložené metody vyššího řádu, která umožňuje adaptivní velikost kroku bude stanoveno automaticky.

Řeznické tablo pro Fehlbergovu metodu 4 (5)

Žádný Metoda Runge – Kutta je jednoznačně identifikován jeho Řeznické tablo. Vložený pár navržený Fehlbergem^[2]

První řádek koeficientů ve spodní části tabulky poskytuje přesnou metodu pátého řádu a druhý řádek poskytuje přesnou metodu čtvrtého řádu.

Implementace algoritmu RK4 (5)

Koeficienty nalezené Fehlbergem pro formuli 1 (derivace s jeho parametrem α2 = 1/3) jsou uvedeny v níže uvedené tabulce, přičemž použití indexování pole základny 1 místo základny 0 je kompatibilní s většinou počítačových jazyků:

Fehlberg^[2] nastiňuje řešení řešení systému n diferenciální rovnice tvaru:

${displaystyle {operatorname {d}! y_ {i} nad operatorname {d}! x} = f_ {i} (x, y_ {1}, y_ {2}, ..., y_ {n}), i = 1,2, ..., y_ {n}}$

iterativní řešení pro

${displaystyle y_ {i} (x + h), i = 1,2, ..., n}$

kde h je adaptivní velikost kroku bude stanoveno algoritmicky:

Řešením je vážený průměr šesti přírůstků, kde každý přírůstek je součinem velikosti intervalu, ${extstyle h}$a odhadovaný sklon určený funkcí F na pravé straně diferenciální rovnice.

${displaystyle k_ {1} = hcdot f (x + A (1) cdot h, y)}$

${displaystyle k_ {2} = hcdot f (x + A (2) cdot h, y + B (2,1) cdot k_ {1})}$

${displaystyle k_ {3} = hcdot f (x + A (3) cdot h, y + B (3,1) cdot k_ {1} + B (3,2) cdot k_ {2})}$

${displaystyle k_ {4} = hcdot f (x + A (4) cdot h, y + B (4,1) cdot k_ {1} + B (4,2) cdot k_ {2} + B (4,3 ) cdot k_ {3})}$

${displaystyle k_ {5} = hcdot f (x + A (5) cdot h, y + B (5,1) cdot k_ {1} + B (5,2) cdot k_ {2} + B (5,3 ) cdot k_ {3} + B (5,4) cdot k_ {4})}$

${displaystyle k_ {6} = hcdot f (x + A (6) cdot h, y + B (6,1) cdot k_ {1} + B (6,2) cdot k_ {2} + B (6,3 ) cdot k_ {3} + B (6,4) cdot k_ {4} + B (6,5) cdot k_ {5})}$

Vážený průměr je pak:

${displaystyle y (x + h) = y (x) + CH (1) cdot k_ {1} + CH (2) cdot k_ {2} + CH (3) cdot k_ {3} + CH (4) cdot k_ {4} + CH (5) cdot k_ {5} + CH (6) cdot k_ {6}}$

Odhad chyby zkrácení je:

${displaystyle TE = | CT (1) cdot k_ {1} + CT (2) cdot k_ {2} + CT (3) cdot k_ {3} + CT (4) cdot k_ {4} + CT (5) cdot k_ {5} + CT (6) cdot k_ {6} |}$

Po dokončení kroku se vypočítá nová velikost kroků:

${displaystyle h_ {new} = 0,9cdot hcdot left ({frac {epsilon} {| TE |}} ight) ^ {1/5}}$

Li ${extstyle | TE |> epsilon}$, poté vyměňte ${extstyle h}$ s ${extstyle h_ {nové}}$ a opakujte krok. Li ${extstyle | TE | leqslant epsilon}$, pak je krok dokončen. Nahradit ${extstyle h}$ s ${extstyle h_ {nové}}$ pro další krok.

Koeficienty nalezené Fehlbergem pro formuli 2 (derivace s jeho parametrem α2 = 3/8) jsou uvedeny v níže uvedené tabulce, přičemž použití indexování pole báze 1 namísto báze 0 je kompatibilní s většinou počítačových jazyků:

V jiné tabulce ve Fehlbergu^[2], jsou uvedeny koeficienty pro RKF4 (5) odvozené D. Sarafyanem:

Viz také

• Seznam metod Runge – Kutta
• Numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice
• Metody Runge – Kutta

Poznámky

Reference

• Svobodný software implementace v GNU oktáva: http://octave.sourceforge.net/odepkg/function/ode45.html
• Erwin Fehlberg (1969). Klasické vzorce Runge-Kutta nízkého řádu s řízením velikosti kroku a jejich aplikací na některé problémy přenosu tepla . Technická zpráva NASA 315. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19690021375/downloads/19690021375.pdf
• Erwin Fehlberg (1968) Klasické vzorce Runge-Jutta pátého, šestého, sedmého a osmého řádu s ovládáním kroků. Technická zpráva NASA 287. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19680027281/downloads/19680027281.pdf
• Erwin Fehlberg (1970) Některé experimentální výsledky týkající se šíření chyb ve vzorcích integrace typu Runge-Kutta. Technická zpráva NASA R-352. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19700031412/downloads/19700031412.pdf
• Erwin Fehlberg (1970). „Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme,“ Výpočetní technika (Arch. Elektron. Rechnen), sv. 6, s. 61–71. doi:10.1007 / BF02241732
• Ernst Hairer, Syvert Nørsett a Gerhard Wanner (1993). Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiffové problémy, druhé vydání, Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-56670-8.
• Diran Sarafyan (1966) Odhad chyb pro metody Runge-Kutta pomocí pseudo-iteračních vzorců. Technická zpráva č. 14, Louisianská státní univerzita v New Orleans, květen 1966.

Další čtení

• Simos, T. E. (1993). Runge-Kuttova Fehlbergova metoda s fázovým zpožděním řádu nekonečna pro problémy s počáteční hodnotou s oscilačním řešením. Počítače a matematika s aplikacemi, 25 (6), 95-101.
• Handapangoda, C. C., Premaratne, M., Yeo, L. a Friend, J. (2008). Laguerre Runge-Kutta-Fehlbergova metoda pro simulaci šíření laserového pulzu v biologické tkáni. IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, 14 (1), 105-112.
• Paul, S., Mondal, S. P., & Bhattacharya, P. (2016). Numerické řešení predátorského modelu kořisti Lotka Volterra pomocí metody Runge – Kutta – Fehlberg a metody Laplaceova Adomianova rozkladu. Alexandria Engineering Journal, 55 (1), 613-617.
• Filiz, A. (2014). Numerické řešení lineární Volterra integro-diferenciální rovnice metodou Runge-Kutta-Fehlberg. Aplikovaná a výpočetní matematika, 3 (1), 9-14.
• Simos, T. E. (1995). Upravené metody Runge-Kutta-Fehlberg pro periodické problémy s počáteční hodnotou. Japonský časopis průmyslové a aplikované matematiky, 12 (1), 109.
• Sarafyan, D. (1994) Přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich systémů pomocí diskrétních a spojitých vložených Runge-Kuttových vzorců a upgradem jejich pořadí, Počítače matematika. Applic. Sv. 28, č. 10-12, str. 353-384, 1994 https://core.ac.uk/download/pdf/82540775.pdf