Vzdálenost nejbližšího přiblížení - Distance of closest approach
The vzdálenost nejbližšího přiblížení dvou objektů je vzdálenost mezi jejich středy, když jsou externě tečna. Objekty mohou být geometrické tvary nebo fyzické částice s dobře definovanými hranicemi. Vzdálenost nejbližšího přiblížení se někdy označuje jako kontaktní vzdálenost.
Pro nejjednodušší objekty, koule, je vzdálenost nejbližšího přiblížení jednoduše součtem jejich poloměrů. U nesférických objektů je vzdálenost nejbližšího přiblížení funkcí orientace objektů a její výpočet může být obtížný. Maximální hustota balení tvrdých částic, důležitý problém trvalého zájmu,[1] závisí na jejich vzdálenosti od nejbližšího přiblížení.
Interakce částic obvykle závisí na jejich oddělení a vzdálenost nejbližšího přístupu hraje důležitou roli při určování chování systémů kondenzovaných látek.
Vyloučený objem
Klíčovým parametrem v těchto popisech je vyloučený objem částic (objem vyloučený do středu jiných částic v důsledku přítomnosti jedné);[2][3] vzdálenost nejbližšího přiblížení je nutná pro výpočet vyloučeného objemu. Vyloučený objem pro identické koule je jen čtyřnásobkem objemu jedné koule. Pro ostatní anizotropní objektů, vyloučený objem závisí na orientaci a jeho výpočet může být překvapivě obtížný.[4] Nejjednodušší tvary za koulemi jsou elipsy a elipsoidy; tyto obdržely značná pozornost,[5] jejich vyloučený objem však není znám. Vieillard Baron dokázal stanovit kritérium překrytí dvou elips. Jeho výsledky byly užitečné pro počítačové simulace systémů s tvrdými částicemi a pro problémy s balením použitím Monte Carlo simulace.
Jeden anizotropní tvar, jehož vyloučený objem lze vyjádřit analyticky, je sférický válec; řešením tohoto problému je klasické dílo Onsageru.[6] Problém byl vyřešen zvážením vzdálenosti mezi dvěma úsečkovými segmenty, které jsou středovými čarami uzavřených válců. Výsledky pro jiné tvary nejsou snadno dostupné. Orientační závislost vzdálenosti nejbližšího přístupu má překvapivé důsledky. Systémy tvrdých částic, jejichž interakce jsou pouze entropické, lze uspořádat. Tvrdé sférocylindry tvoří nejen orientálně uspořádané nematické, ale také polohově uspořádané smektické fáze.[7] Zde se systém vzdává nějaké (orientační a dokonce poziční) poruchy, aby získal poruchu a entropie někde jinde.
Případ dvou elips
Vieillard Baron nejprve prozkoumal tento problém, a přestože nezískal výsledek pro vzdálenost nejbližšího přiblížení, odvodil kritérium překrytí pro dvě elipsy. Jeho výsledky byly užitečné pro studium fázového chování tvrdých částic a pro problém s balením použitím Monte Carlo simulace. Ačkoli byla vytvořena kritéria překrývání,[8][9] analytická řešení pro vzdálenost nejbližšího přiblížení a umístění kontaktního bodu jsou k dispozici teprve nedávno.[10][11] Podrobnosti o výpočtech jsou uvedeny v Ref.[12] The Fortran 90 podprogram je uveden v Ref.[13]
Postup se skládá ze tří kroků:
- Proměna ze dvou tečna elipsy a , jejichž centra spojuje vektor , do kruh a elipsu , jehož centra jsou spojena vektorem . Kruh a elipsa po transformaci zůstanou tečna.
- Určení vzdálenosti nejužšího přístupu a analyticky. Vyžaduje odpovídající řešení a kvartická rovnice. Normální se vypočítá.
- Určení vzdálenosti nejbližšího přiblížení a umístění kontaktního bodu a inverzními transformacemi vektorů a .
Vstup:
- délky semiaxů ,
- jednotkové vektory , podél majora sekery obou elips a
- jednotkový vektor spojující středy obou elips.
Výstup:
Případ dvou elipsoidů
Zvažte dvě elipsoidy, každý s daným tvar a orientace, jejichž středy jsou na řádku s daným směr. Chtěli bychom určit vzdálenost mezi středy, když jsou elipsoidy externě v bodovém kontaktu. Tato vzdálenost nejbližšího přiblížení je funkcí tvarů elipsoidů a jejich orientace. Pro tento problém neexistuje žádné analytické řešení, protože řešení vzdálenosti vyžaduje řešení šestého řádu polynomiální rovnice. Tady algoritmus je vyvinut pro určení této vzdálenosti na základě analytických výsledků pro vzdálenost nejbližšího přiblížení elips ve 2D, které lze implementovat numericky. Podrobnosti jsou uvedeny v publikacích.[14][15] Subrutiny jsou poskytovány ve dvou formátech: Fortran90 [16] a C.[17]
Algoritmus se skládá ze tří kroků.
- Sestavení roviny obsahující přímku spojující středy dvou elipsoidů a nalezení rovnic elips tvořených průsečík z toho letadlo a elipsoidy.
- Určení vzdálenosti nejbližšího přiblížení elips; to je vzdálenost mezi středy elips, když jsou v externím bodovém kontaktu.
- Otáčení roviny, dokud vzdálenost nejbližšího přiblížení elips není a maximum. Vzdálenost nejbližšího přiblížení elipsoidů je tato maximální vzdálenost.
Viz také
Reference
- ^ Torquato, S .; Jiao, Y. (2009). "Husté balení platonických a archimédských pevných látek". Příroda. Springer Science and Business Media LLC. 460 (7257): 876–879. arXiv:0908.4107. doi:10.1038 / nature08239. ISSN 0028-0836. PMID 19675649. S2CID 52819935.
- ^ T.L. Hill, Úvod do statistické termodynamiky (Addison Wesley, Londýn, 1960)
- ^ T.A. Witten a P.A. Pincus, strukturované tekutiny (Oxford University Press, Oxford, 2004)
- ^ Síly, růst a forma v měkkých kondenzovaných látkách: Na rozhraní mezi fyzikou a biologií, ed. NA. Skjeltrop a A.V. Belushkin (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 2009),
- ^ Donev, Aleksandar; Stillinger, Frank H .; Chaikin, P. M .; Torquato, Salvatore (2004-06-23). "Neobvykle husté krystalové obaly elipsoidů". Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 92 (25): 255506. arXiv:cond-mat / 0403286. doi:10.1103 / physrevlett.92.255506. ISSN 0031-9007. PMID 15245027. S2CID 7982407.
- ^ Onsager, Lars (1949). "Účinky tvaru na interakci koloidních částic". Annals of the New York Academy of Sciences. Wiley. 51 (4): 627–659. doi:10.1111 / j.1749-6632.1949.tb27296.x. ISSN 0077-8923.
- ^ Frenkel, Daan. (1987-09-10). "Onsagerovy sférocylindry byly znovu navštíveny". The Journal of Physical Chemistry. Americká chemická společnost (ACS). 91 (19): 4912–4916. doi:10.1021 / j100303a008. hdl:1874/8823. ISSN 0022-3654.
- ^ Vieillard-Baron, Jacques (1972-05-15). "Fázové přechody klasického systému Hard-Ellipse". The Journal of Chemical Physics. Publikování AIP. 56 (10): 4729–4744. doi:10.1063/1.1676946. ISSN 0021-9606.
- ^ Perram, John W .; Wertheim, M.S. (1985). "Statistická mechanika tvrdých elipsoidů. I. Algoritmus překrytí a kontaktní funkce". Journal of Computational Physics. Elsevier BV. 58 (3): 409–416. doi:10.1016/0021-9991(85)90171-8. ISSN 0021-9991.
- ^ X. Zheng a P. Palffy-Muhoray, „Vzdálenost nejbližšího přiblížení dvou libovolných tvrdých elips ve dvou rozměrech“, elektronická komunikace z tekutých krystalů, 2007
- ^ Zheng, Xiaoyu; Palffy-Muhoray, Peter (26.06.2007). "Vzdálenost nejbližšího přiblížení dvou libovolných tvrdých elips ve dvou rozměrech". Fyzický přehled E. 75 (6): 061709. arXiv:0911.3420. doi:10.1103 / fyzreve.75.061709. ISSN 1539-3755. PMID 17677285. S2CID 7576313.
- ^ X. Zheng a P. Palffy-Muhoray, Kompletní verze obsahující algoritmus kontaktního bodu, 4. května 2009.
- ^ Fortran90 podprogram pro kontaktní vzdálenost a kontaktní bod pro 2D elipsy autorů X. Zheng a P. Palffy-Muhoray, květen 2009.
- ^ Zheng, Xiaoyu; Iglesias, Wilder; Palffy-Muhoray, Peter (2009-05-20). "Vzdálenost nejbližšího přiblížení dvou libovolných tvrdých elipsoidů". Fyzický přehled E. Americká fyzická společnost (APS). 79 (5): 057702. doi:10.1103 / physreve.79.057702. ISSN 1539-3755. PMID 19518604.
- ^ X. Zheng, W. Iglesias, P. Palffy-Muhoray, „Vzdálenost nejbližšího přiblížení dvou libovolných tvrdých elipsoidů“, elektronická komunikace z tekutých krystalů, 2008
- ^ Fortran90 podprogram pro vzdálenost nejbližšího přiblížení elipsoidů
- ^ C podprogram pro vzdálenost nejbližšího přiblížení elipsoidů