Diskrétní tvarování paprsku - Discrete-time beamforming

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: copyedit / nadpis není v čele, špatně tučně u jiného článku, více citací, citace mimo nadpisy Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Ledna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Tvarování paprsku je zpracování signálu technika používaná k prostorovému výběru šířících se vln (zejména akustický a elektromagnetické vlny). Aby bylo možné implementovat tvarování paprsku na digitálním hardwaru, je třeba diskretizovat přijaté signály. To zavádí kvantování chyba narušující vzor pole. Z tohoto důvodu musí být vzorkovací frekvence obecně mnohem větší než Nyquistova sazba.^[1]

Úvod

Beamforming si klade za cíl vyřešit problém filtrování signálů přicházejících z určitého směru na rozdíl od všesměrového přístupu. Diskrétní formování paprsku je primárně zajímavé v oblastech seismologie, akustika, sonar a nízká frekvence bezdrátová komunikace. Antény pravidelně využívat tvarování paprsku ale je většinou obsažen v analogové doméně.

Tvarování paprsku začíná řadou senzorů pro detekci 4-D signálu (3 fyzické rozměry a čas). 4-D signál ${ displaystyle s ( mathbf {x}, t)}$ existuje v prostorové doméně na pozici ${ displaystyle mathbf {x}}$ a včas ${ displaystyle t}$. 4-D Fourierova transformace výnosů signálu ${ displaystyle S ( mathbf {k}, omega)}$ který existuje ve frekvenčním spektru vlnového čísla. Vektor vlnového čísla ${ displaystyle mathbf {k}}$ představuje prostorovou frekvenci 3-D a ${ displaystyle omega}$ představuje časovou frekvenci. 4-D sinusoida ${ displaystyle e ^ {j ( omega t- mathbf {k} ' mathbf {x})}}$, kde ${ displaystyle mathbf {k} '}$ označuje transpozici vektoru ${ displaystyle mathbf {k}}$, lze přepsat jako ${ displaystyle e ^ {j omega (t - { boldsymbol { alpha}} ' mathbf {x})}}$ kde ${ displaystyle { boldsymbol { alpha}} = { frac { mathbf {k}} { omega}}}$ , známý také jako vektor pomalosti.

Řízení paprsku v určitém směru vyžaduje, aby všechny senzory přidávaly fázově k určitému směru zájmu. Aby se každý senzor přidal do fáze, bude mít každý senzor příslušné zpoždění ${ displaystyle tau}$ takhle ${ displaystyle { boldsymbol { tau _ {i}}} = - { boldsymbol { alpha _ {o}}} ' mathbf {x_ {i}}}$ je zpoždění i-tého senzoru v poloze ${ displaystyle mathbf {x_ {i}}}$ a kde je směr vektoru pomalosti ${ displaystyle { boldsymbol { alpha _ {o}}}}$ je směr zájmu.

Diskrétně vážené zpoždění a součet tvarování paprsku^[2]

Výstup formátoru paprsku v diskrétním čase ${ displaystyle bf (nT)}$ je tvořen vzorkováním signálu přijímače ${ displaystyle r_ {i} (t)}$ a zprůměrování jeho vážených a zpožděných verzí.

${ displaystyle bf (nT) = { frac {1} {N}} součet _ {i = 0} ^ {N-1} w_ {i} r_ {i} (nT-n_ {i} T)}$

kde:

• ${ displaystyle N}$ je počet senzorů
• ${ displaystyle w_ {i}}$ jsou váhy
• ${ displaystyle T}$ je období vzorkování
• ${ displaystyle n_ {i} T}$ je zpoždění řízení pro ith senzor

Nastavení ${ displaystyle n_ {i} T}$ rovná ${ displaystyle - { boldsymbol { alpha _ {o}}} ' mathbf {x_ {i}}}$ dosáhne správného směru, ale ${ displaystyle n_ {i}}$ musí být celé číslo. Většinou ${ displaystyle n_ {i}}$ bude třeba vyčíslit a budou zavedeny chyby. Kvantizační chyby lze popsat jako ${ displaystyle Delta tau _ {i} = n_ {i} T- tau _ {i}}$. Maticový vzor pro požadovaný směr daný vektorem pomalosti ${ displaystyle alpha _ {o}}$ a za chybu kvantizace ${ displaystyle Delta tau _ {i}}$ se stává:

${ displaystyle H ( mathbf {k}, omega) = { frac {1} {N}} součet _ {i = 0} ^ {N-1} w_ {i} e ^ {- j ( mathbf {k} - omega { boldsymbol { alpha _ {0}}}) ' mathbf {x_ {i}}} e ^ {- j omega Delta tau _ {i}}}$

Interpolace^[3]

Vývojový diagram převzorkování a lineárního filtru pro diskrétní tvarování paprsku

Základním problémem diskrétního váženého tvarování paprsku se zpožděním a součtem je kvantování zpoždění řízení. Cílem metody interpolace je vyřešit tento problém pomocí převzorkování přijímací signál. ${ displaystyle n_ {i}}$ musí být stále celé číslo, ale nyní má jemnější ovládání. Interpolace přichází za cenu většího výpočtu. Nová vzorkovací frekvence je označena jako ${ displaystyle { tilde {T}}}$. Výstup formovače paprsku ${ displaystyle bf (n { tilde {T}})}$ je teď

${ displaystyle bf (n { tilde {T}}) = { frac {1} {N}} součet _ {i = 0} ^ {N-1} w_ {i} { tilde {r}} _ {i} (n { tilde {T}} - n_ {i} { tilde {T}})}$

Poměr doby vzorkování ${ displaystyle I = { frac {T} { tilde {T}}}}$ je nastaveno na celé číslo, aby se minimalizoval nárůst výpočtů. Ukázky ${ displaystyle { tilde {r}} _ {i} (m { tilde {T}})}$ jsou interpolovány z ${ displaystyle r_ {i} (nT)}$ takhle

${ displaystyle { tilde {r}} _ {i} (m { tilde {T}}) = součet _ {n} r_ {i} (nT) g ((m-nI) { tilde {T }})}$

Po ${ displaystyle bf (n { tilde {T}})}$ je převzorkován a filtrován, výstup formovače paprsku ${ displaystyle bf (m { tilde {T}})}$ se stává:

${ displaystyle bf (m { tilde {T}}) = { frac {1} {N}} součet _ {i = 0} ^ {N-1} w_ {i} součet _ {p} r_ {i} (pT) g ((m-pI-n_ {i}) { tilde {T}})}$

V tomto bodě je vzorkovací frekvence formátoru paprsku větší než nejvyšší frekvence, kterou obsahuje.

Tvarování paprsků ve frekvenční oblasti^[4]

Jak je vidět v sekci vytváření paprsků v diskrétní oblasti, metoda váženého zpoždění a součtu je efektivní a kompaktní. Kvantizační chyby bohužel mohou narušit vzor pole natolik, aby způsobily komplikace. Technika interpolace snižuje poruchy vzorového pole za cenu vyšší vzorkovací frekvence a více výpočtů na digitálním hardwaru. Tvarování paprsků ve frekvenční doméně nevyžaduje vyšší vzorkovací frekvenci, což činí metodu výpočetně efektivnější.^[5]

Diskformátor paprsků ve frekvenční oblasti v diskrétním čase je dán vztahem

${ displaystyle fd (nT, omega) = { frac {1} {N}} součet _ {i = 0} ^ {N-1} w_ {i} R_ {i} (nT, omega) e ^ {j omega (n - { boldsymbol { tau}} _ {i})}}$

Pro lineárně rozmístěná pole senzorů ${ displaystyle { boldsymbol { tau}} _ {i} = - { frac {Mq} {Nl}} i}$. Diskrétní krátkodobá Fourierova transformace z ${ displaystyle r_ {i} (nT)}$ je označen ${ displaystyle R_ {i} (nT, omega)}$. Aby byla výpočetně efektivní, je žádoucí vyhodnotit součet v co nejmenším počtu výpočtů. Pro jednoduchost ${ displaystyle T = 1}$ kupředu. Efektivní metoda existuje uvažováním 1-D FFT pro mnoho hodnot ${ displaystyle omega}$. Li ${ displaystyle omega = { frac {2 pi l} {M}}}$ pro ${ displaystyle 0 leq l$ pak ${ displaystyle R_ {i} (n, omega) e ^ {j omega (n - { boldsymbol { tau}} _ {i})}}$ se stává:

${ displaystyle R_ {i} left (n, { frac {2 pi l} {M}} right) e ^ {j { frac {2 pi l} {M}} n} = součet _ {p = 0} ^ {M-1} r_ {i} (np) v (p) e ^ {j { frac {2 pi l} {M}} p}}$

kde ${ displaystyle p = n-m}$. Nahrazení 1-D FFT do tvarovače paprsků ve frekvenční doméně:

${ displaystyle fd left (n, { frac {2 pi l} {M}} right) = left [{ frac {1} {N}} sum _ {i = 0} ^ {N -1} w_ {i} R_ {i} left (n, { frac {2 pi l} {M}} e ^ {j { frac {2 pi q} {N}} i} right ) right] e ^ {j { frac {2 pi l} {M}} n}}$

Termín v závorkách je 2-D DFT s opačným znaménkem v exponenciálu

${ displaystyle fd left (n, { frac {2 pi l} {M}} right) = { frac {1} {N}} součet _ {i = 0} ^ {N-1} sum _ {p = 0} ^ {M-1} w_ {i} v (p) r_ {i} (np) e ^ {j { frac {2 pi l} {M}} p + j { frac {2 pi q} {N}} i}}$

pokud je 2-D sekvence ${ displaystyle x_ {n} (p, i) = w_ {i} v (p) r_ {i} (n-p)}$ a ${ displaystyle X_ {n} (l, q)}$ je (M X N) -bod DFT z ${ displaystyle x_ {n} (p, i)}$ pak

${ displaystyle fd left (n, { frac {2 pi l} {M}} right) = { frac {1} {N}} X_ {n} (M-l, N-q)}$

Pro 1-D lineární pole podél vodorovného směru a požadovaného směru:

${ displaystyle alpha _ {0x} = { frac {Mq} {NlD}}}$

kde:

• ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle N}$ jsou rozměry DFT
• ${ displaystyle D}$ je oddělení senzoru
• ${ displaystyle l}$ je index frekvence mezi ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle M-1}$
• ${ displaystyle q}$ je index řízení mezi ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle N-1}$

${ displaystyle l}$ a ${ displaystyle q}$ lze zvolit pro „směrování paprsku“ směrem k určité časové frekvenci a prostorové poloze

Reference