Diophantine pětinásobek - Diophantine quintuple

V matematice, a diofantin m-tuple je sada m kladná celá čísla ${ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ldots, a_ {m} }}$ takhle ${ displaystyle a_ {i} a_ {j} +1}$ je perfektní čtverec pro každého ${ Displaystyle 1 leq já$.^[1] Sada m kladná racionální čísla s podobnou vlastností, že součin libovolných dvou je o jeden menší než a racionální čtverec je známý jako racionální diofantin m-tuple.

Diofantin m- n-tice

První diofantinový čtyřnásobek našel Fermat: ${ displaystyle {1,3,8,120 }}$.^[1] V roce 1969 to dokázali Baker a Davenport ^[1] že do této množiny nelze přidat páté kladné celé číslo. Euler dokázal tuto sadu rozšířit přidáním racionálního čísla${ displaystyle { frac {777480} {8288641}}}$.^[1]

Otázka existence (celé číslo ) diofantinové pětinásobky byly jedním z nejstarších nevyřešených problémů v teorii čísel. V roce 2004 Andrej Dujella ukázaly, že existuje nanejvýš konečný počet diophantinových pětinásobků.^[1] V roce 2016 se ukázalo, že He, Togbé a Ziegler žádné takové pětinásobky neexistují.^[2]

Jak prokázal Euler, každý pár diofantinů lze rozšířit na čtyřnásobek diofantinů. Totéž platí pro každou trojici diofantinů. U obou těchto typů rozšíření, stejně jako u Fermatova čtyřnásobku, je možné přidat celé páté racionální číslo.^[3]

Racionální případ

Diophantus sám našel racionální diofantinový čtyřnásobek ${ displaystyle left {{ frac {1} {16}}, { frac {33} {16}}, { frac {17} {4}}, { frac {105} {16}} že jo}}$.^[1] Více nedávno, Philip Gibbs našel sadu šesti pozitivních racionálních s majetkem.^[4] Není známo, zda existuje nějaký větší racionální diofantin m-tuple existují, nebo i když existuje horní mez, ale je známo, že neexistuje žádná nekonečná sada racionů s touto vlastností.^[5]

Reference

externí odkazy

• Stránky Andreje Dujelly o diofantinu m- n-tice