Dedekindova částka - Dedekind sum - Wikipedia

v matematika, Dedekindovy částky jsou určité součty produktů a funkce pilovitý zub, a jsou dány funkcí D tří celočíselných proměnných. Dedekind je představil, aby vyjádřili funkční rovnice z Funkce Dedekind eta. Následně byly hodně studovány v teorie čísel, a vyskytly se u některých problémů topologie. Dedekindovy součty mají velké množství funkčních rovnic; tento článek uvádí pouze malý zlomek z nich.

Dedekindovy částky byly zavedeny Richard Dedekind v komentáři k fragmentu XXVIII z Bernhard Riemann shromážděné papíry.

Definice

Definujte funkce pilovitých zubů ${ displaystyle (! (,) !): mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ tak jako

${ displaystyle (! (x) !) = { začátek {případů} x- lfloor x rfloor -1/2, & { mbox {if}} x in mathbb {R} setminus mathbb {Z}; 0, & { mbox {if}} x in mathbb {Z}. end {cases}}}$

Pak jsme to nechali

${ displaystyle D: mathbb {Z} ^ {2} times mathbb {Z} - {0 } do mathbb {R}}$

být definován

${ displaystyle D (a, b; c) = sum _ {n { bmod {c}}} left (! ! left ({ frac {an} {c}} right) ! ! right) left (! ! left ({ frac {bn} {c}} right) ! ! right),}$

podmínky na pravém bytí Dedekindovy částky. Pro případ A= 1, jeden často píše

s(b,C) = D(1,b;C).

Jednoduché vzorce

Všimněte si, že D je symetrický v A a b, a tedy

${ displaystyle D (a, b; c) = D (b, a; c),}$

a to zvláštností (()),

D(−A,b;C) = −D(A,b;C),

D(A,b;−C) = D(A,b;C).

Periodicitou D ve svých prvních dvou argumentech, přičemž třetím argumentem je délka období pro oba,

D(A,b;C)=D(A+kc,b+lc;C), pro všechna celá čísla k,l.

Li d je tedy kladné celé číslo

D(inzerát,bd;CD) = dD(A,b;C),

D(inzerát,bd;C) = D(A,b;C), pokud (d,C) = 1,

D(inzerát,b;CD) = D(A,b;C), pokud (d,b) = 1.

Existuje důkaz pro poslední využití rovnosti

${ displaystyle sum _ {n { bmod {c}}} left (! ! left ({ frac {n + x} {c}} right) ! ! right) = ( ! (x) !), qquad forall x in mathbb {R}.}$

Dále az = 1 (mod C) naznačuje D(A,b;C) = D(1,B z;C).

Alternativní formy

Li b a C jsou coprime, můžeme psát s(b,C) tak jako

${ displaystyle s (b, c) = { frac {-1} {c}} součet _ { omega} { frac {1} {(1- omega ^ {b}) (1- omega )}} + { frac {1} {4}} - { frac {1} {4c}},}$

kde částka přesahuje C-té kořeny jednoty jiné než 1, tj. ve všech ${ displaystyle omega}$ takhle ${ displaystyle omega ^ {c} = 1}$ a ${ displaystyle omega not = 1}$.

Li b, C > 0 jsou tedy coprime

${ displaystyle s (b, c) = { frac {1} {4c}} součet _ {n = 1} ^ {c-1} cot left ({ frac { pi n} {c} } right) cot left ({ frac { pi nb} {c}} right).}$

Zákon o vzájemnosti

Li b a C jsou potom celá kladná celá čísla

${ displaystyle s (b, c) + s (c, b) = { frac {1} {12}} vlevo ({ frac {b} {c}} + { frac {1} {bc} } + { frac {c} {b}} vpravo) - { frac {1} {4}}.}$

Přepisuji to jako

${ Displaystyle 12bc left (s (b, c) + s (c, b) right) = b ^ {2} + c ^ {2} -3bc + 1,}$

z toho vyplývá, že číslo 6C s(b,C) je celé číslo.

Li k = (3, C) pak

${ displaystyle 12bc , s (c, b) = 0 mod kc}$

a

${ displaystyle 12bc , s (b, c) = b ^ {2} +1 mod kc.}$

Vztah, který je prominentní v teorii Funkce Dedekind eta je následující. Nechat q = 3, 5, 7 nebo 13 a nechat n = 24/(q - 1). Poté daná celá čísla A, b, C, d s inzerát − před naším letopočtem = 1 (tedy patřící do modulární skupina ), s C zvolen tak, aby C = kq pro celé číslo k > 0, definovat

${ displaystyle delta = s (a, c) - { frac {a + d} {12c}} - s (a, k) + { frac {a + d} {12k}}}$

Pak jeden má nδ je sudé celé číslo.

Rademacherovo zobecnění zákona o vzájemnosti

Hans Rademacher našel následující zobecnění zákona o vzájemnosti pro Dedekindovy částky:^[1] Li A,b, a C jsou tedy dvojitá pozitivní celočíselná celá čísla

${ displaystyle D (a, b; c) + D (b, c; a) + D (c, a; b) = { frac {1} {12}} { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {abc}} - { frac {1} {4}}.}$

Reference

Další čtení

• Tom M. Apostol, Modulární funkce a Dirichletova řada v teorii čísel (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN  0-387-97127-0 (Viz kapitola 3.)
• Matthias Beck a Sinai Robins, Dedekindovy součty: diskrétní geometrické hledisko, (2005 nebo starší)
• Hans Rademacher a Emil Grosswald, Dedekindovy částky, Carus Math. Monografie, 1972. ISBN  0-88385-016-8.