Zakřivení míry - Curvature of a measure
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, zakřivení míry definované na Euklidovské letadlo R2 je kvantifikace toho, jak moc je „rozložení hmotnosti“ opatření „zakřivené“. Souvisí to s pojmy zakřivení v geometrie. V níže uvedené podobě byl koncept představen v roce 1995 organizací matematik Mark S. Melnikov; podle toho jej lze označit jako Melnikovovo zakřivení nebo Menger-Melnikovovo zakřivení. Melnikov a Verdera (1995) vytvořili silné spojení mezi zakřivením opatření a Cauchyovo jádro.
Definice
Nechat μ být Borelův rozměr v euklidovské rovině R2. Vzhledem k tomu, tři (odlišné) body X, y a z v R2, nechť R(X, y, z) být poloměr euklidovský kruh který spojuje všechny tři, nebo + ∞, pokud jsou kolineární. The Mengerovo zakřivení C(X, y, z) je definován jako
s přirozenou konvencí C(X, y, z) = 0 pokud X, y a z jsou kolineární. Je také obvyklé rozšířit tuto definici nastavením C(X, y, z) = 0, pokud je některý z bodů X, y a z shodovat se. The Menger-Melnikovovo zakřivení C2(μ) z μ je definován jako
Obecněji pro α ≥ 0, definovat C2α(μ) od
Jeden může také odkazovat na zakřivení μ v daném bodě X:
v jakém případě
Příklady
- The triviální opatření má nulové zakřivení.
- A Diracova míra δA kdykoli podporováno A má nulové zakřivení.
- Li μ je jakékoli opatření, jehož Podpěra, podpora je obsažen v euklidovské linii L, pak μ má nulové zakřivení. Například jednorozměrný Lebesgueovo opatření na libovolné přímce (nebo úsečce) má nulové zakřivení.
- Lebesgueovo opatření je definováno u všech R2 má nekonečné zakřivení.
- Li μ je jednotný jednorozměrný Hausdorffovo opatření na kruhu Cr nebo poloměr r, pak μ má zakřivení 1 /r.
Vztah k jádru Cauchy
V této části, R2 je považován za složité letadlo C. Melnikov a Verdera (1995) prokázali přesný vztah omezenost Cauchyho jádra k zakřivení měr. Dokázali, že pokud existuje nějaká konstanta C0 takhle
pro všechny X v C a všechno r > 0, pak existuje další konstanta C, záleží jen na C0, takový, že
pro všechny ε > 0. Tady Cε označuje zkrácenou verzi Menger-Melnikovova zakřivení, ve které je integrál převzat pouze nad těmito body X, y a z takhle
Podobně, označuje zkrácený Cauchyův integrální operátor: pro míru μ na C a bod z v C, definovat
kde integrál převezme tyto body ξ v C s
Reference
- Mel'nikov, Mark S. (1995). "Analytická kapacita: diskrétní přístup a zakřivení míry". Matematicheskii Sbornik. 186 (6): 57–76. ISSN 0368-8666.
- Melnikov, Mark S .; Verdera, Joan (1995). "Geometrický důkaz L2 ohraničenost Cauchyova integrálu na Lipschitzových grafech ". Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu. 1995 (7): 325–331. doi:10.1155 / S1073792895000249.
- Tolsa, Xavier (2000). "Hlavní hodnoty pro Cauchyho integrál a opravitelnost". Proceedings of the American Mathematical Society. 128 (7): 2111–2119. doi:10.1090 / S0002-9939-00-05264-3.