Napříč spektrem - Cross-spectrum - Wikipedia

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby tomu rozuměli. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Dubna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v analýza časových řad, křížové spektrum se používá jako součást a frekvenční doména analýza vzájemná korelace nebo křížová kovariance mezi dvěma časovými řadami.

Definice

Nechat ${ displaystyle (X_ {t}, Y_ {t})}$ představují dvojici stochastické procesy které jsou společně široký smysl stacionární s autovariance funkce ${ displaystyle gamma _ {xx}}$ a ${ displaystyle gamma _ {yy}}$ a křížová kovariance funkce ${ displaystyle gamma _ {xy}}$. Pak křížové spektrum ${ displaystyle Gamma _ {xy}}$ je definován jako Fourierova transformace z ${ displaystyle gamma _ {xy}}$ ^[1]

${ displaystyle Gamma _ {xy} (f) = { mathcal {F}} { gamma _ {xy} } (f) = součet _ { tau = - infty} ^ { infty} , gamma _ {xy} ( tau) , e ^ {- 2 , pi , i , tau , f},}$

kde

${ displaystyle gamma _ {xy} ( tau) = operatorname {E} [(x_ {t} - mu _ {x}) (y_ {t + tau} - mu _ {y})]}$ .

Křížové spektrum má reprezentace jako rozklad na (i) jeho skutečnou část (společné spektrum) a (ii) svou imaginární část (kvadraturní spektrum)

${ displaystyle Gamma _ {xy} (f) = Lambda _ {xy} (f) + i Psi _ {xy} (f),}$

a (ii) v polárních souřadnicích

${ displaystyle Gamma _ {xy} (f) = A_ {xy} (f) , e ^ {i phi _ {xy} (f)}.}$

Tady je amplitudové spektrum ${ displaystyle A_ {xy}}$ je dána

${ displaystyle A_ {xy} (f) = ( Lambda _ {xy} (f) ^ {2} + Psi _ {xy} (f) ^ {2}) ^ { frac {1} {2} },}$

a fázové spektrum ${ displaystyle Phi _ {xy}}$ je dána

${ displaystyle { begin {cases} tan ^ {- 1} ( Psi _ {xy} (f) / Lambda _ {xy} (f)) & { text {if}} Psi _ {xy } (f) neq 0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) neq 0 0 & { text {if}} Psi _ {xy} (f) = 0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f)> 0 pm pi & { text {if}} Psi _ {xy} (f) = 0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) <0 pi / 2 & { text {if}} Psi _ {xy} (f)> 0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) = 0 - pi / 2 & { text {if}} Psi _ {xy} (f) <0 { text {and}} Lambda _ {xy} (f) = 0 end {cases} }}$

Čtvercové koherenční spektrum

Na druhou koherenční spektrum je dána

${ displaystyle kappa _ {xy} (f) = { frac {A_ {xy} ^ {2}} { gama _ {xx} (f) gama _ {yy} (f)}},}$

který vyjadřuje amplitudové spektrum v bezrozměrných jednotkách.

Viz také

• Křížová korelace
• Výkonové spektrum
• Škálovaná korelace

Reference