Cremona skupina - Cremona group - Wikipedia

v algebraická geometrie, Cremona skupina, představil Cremona  (1863, 1865 ), je skupina birational automorphisms z ${ displaystyle n}$-dimenzionální projektivní prostor přes pole ${ displaystyle k}$. Označuje to ${ displaystyle Cr ( mathbb {P} ^ {n} (k))}$nebo ${ displaystyle Bir ( mathbb {P} ^ {n} (k))}$ nebo ${ displaystyle Cr_ {n} (k)}$.

Skupina Cremona je přirozeně ztotožňována se skupinou automorfismu ${ displaystyle mathrm {Aut} _ {k} (k (x_ {1}, ..., x_ {n}))}$ pole pole racionální funkce v ${ displaystyle n}$ neurčuje se znovu ${ displaystyle k}$, nebo jinými slovy čistý transcendentální rozšíření z ${ displaystyle k}$, s stupněm transcendence ${ displaystyle n}$.

The projektivní obecná lineární skupina řádu ${ displaystyle n + 1}$, z projektivní transformace, je obsažen ve skupině Cremona řádu ${ displaystyle n}$. Ti dva jsou si rovni, jen když ${ displaystyle n = 0}$ nebo ${ displaystyle n = 1}$, v takovém případě musí být čitatel i jmenovatel transformace lineární.

Skupina Cremona ve 2 dimenzích

Ve dvou dimenzích Max Noether a Castelnuovo ukázali, že komplexní skupina Cremona je generována standardní kvadratickou transformací spolu s ${ displaystyle mathrm {PGL} (3, k)}$, ačkoli tam byla nějaká diskuse o tom, zda jejich důkazy byly správné, a Gizatullin (1983) dal úplnou sadu vztahů pro tyto generátory. Struktura této skupiny stále není dobře pochopena, přestože na jejím hledání prvků nebo podskupin bylo mnoho práce.

• Cantat & Lamy (2010) ukázal, že skupina Cremona není jednoduchá jako abstraktní skupina;
• Blanc ukázal, že nemá žádné netriviální normální podskupiny, které jsou také uzavřeny v přirozené topologii.
• Pro konečné podskupiny skupiny Cremona viz Dolgachev & Iskovskikh (2009).

Skupina Cremona ve vyšších dimenzích

O struktuře skupiny Cremona ve třech dimenzích a vyšších je známo málo, ačkoli bylo popsáno mnoho jejích prvků. Blanc (2010) ukázal, že je (lineárně) propojen, odpověděl na otázku Serre (2010). Neexistuje snadný analogie věty Noether – Castelnouvo jako Hudson (1927) ukázal, že skupina Cremona v dimenzi nejméně 3 není generována jejími prvky stupně ohraničenými pevným celým číslem.

Skupiny De Jonquières

Skupina De Jonquières je podskupinou skupiny Cremona následující formy^{[Citace je zapotřebí ]}. Vyberte základ transcendence${ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ pro rozšíření pole o ${ displaystyle k}$. Pak je skupina De Jonquières podskupinou automorfismů ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ mapování podpole ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ pro sebe ${ displaystyle r leq n}$. Má normální podskupinu danou kremonskou skupinou automorfismů ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ přes pole ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$a kvocientovou skupinou je Cremona skupina ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ přes pole ${ displaystyle k}$. Lze jej také považovat za skupinu biracních automorfismů svazku vláken ${ displaystyle mathbb {P} ^ {r} times mathbb {P} ^ {n-r} to mathbb {P} ^ {r}}$.

Když ${ displaystyle n = 2}$ a ${ displaystyle r = 1}$ skupina De Jonquières je skupina Cremonových transformací, které fixují tužku čar skrz daný bod, a je polopřímým produktem ${ displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (k)}$ a ${ displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (k (t))}$.

Reference

• Alberich-Carramiñana, Maria (2002), Geometrie map letadla CremonaPřednášky z matematiky, 1769, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / b82933, ISBN  978-3-540-42816-9, PAN  1874328
• Blanc, Jérémy (2010), „Groupes de Cremona ,onnexité et simplicité“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 43 (2): 357–364, doi:10,24033 / asens.2123, ISSN  0012-9593, PAN  2662668
• Cantat, Serge; Lamy, Stéphane (2010). "Normální podskupiny ve skupině Cremona". Acta Mathematica. 210 (2013): 31–94. arXiv:1007.0895. Bibcode:2010arXiv1007.0895C. doi:10.1007 / s11511-013-0090-1.
• Coolidge, Julian Lowell (1931), Pojednání o algebraických rovinných křivkách, Oxford University Press, ISBN  978-0-486-49576-7, PAN  0120551
• Cremona, L. (1863), „Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane“, Giornale di matematiche di Battaglini, 1: 305–311
• Cremona, L. (1865), „Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane“, Giornale di matematiche di Battaglini, 3: 269–280, 363–376
• Demazure, Michel (1970), „Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 3: 507–588, ISSN  0012-9593, PAN  0284446
• Dolgachev, Igor V. (2012), Klasická algebraická geometrie: moderní pohled (PDF), Cambridge University Press, ISBN  978-1-107-01765-8, archivovány z originál (PDF) dne 2014-05-31, vyvoláno 2012-04-18
• Dolgachev, Igor V .; Iskovskikh, Vasily A. (2009), "Konečné podskupiny skupiny Cremona", Algebra, aritmetika a geometrie: na počest Yu. I. Manin. Sv. Já, Progr. Matematika., 269, Boston, MA: Birkhäuser Boston, str. 443–548, arXiv:matematika / 0610595, doi:10.1007/978-0-8176-4745-2_11, ISBN  978-0-8176-4744-5, PAN  2641179
• Gizatullin, M. Kh. (1983), „Definování vztahů pro Cremonovu skupinu letadla“, Matematika SSSR-Izvestiya, 21 (2): 211–268, Bibcode:1983IzMat..21..211G, doi:10.1070 / IM1983v021n02ABEH001789, ISSN  0373-2436, PAN  0675525
• Godeaux, Lucien (1927), Les transformations birationelles du plan, Mémorial des sciences mathématiques, 22Gauthier-Villars et Cie, JFM  53.0595.02
• „Cremona group“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• "Cremona transformace", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Hudson, Hilda Phoebe (1927), Cremona transformace v rovině a vesmíru, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-35882-8, Přetištěno 2012
• Semple, J. G .; Roth, L. (1985), Úvod do algebraické geometrieOxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853363-4, PAN  0814690
• Serre, Jean-Pierre (2009), „Minkowského styl směřující k objednávkám konečných podskupin skupiny Cremona 2. úrovně nad libovolným polem“, Moskevský matematický deník, 9 (1): 193–208, doi:10.17323/1609-4514-2009-9-1-183-198, ISSN  1609-3321, PAN  2567402
• Serre, Jean-Pierre (2010), „Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis“ (PDF), Astérisque, Seminaire Bourbaki 1000 (332): 75–100, ISBN  978-2-85629-291-4, ISSN  0303-1179, PAN  2648675