Cremona skupina - Cremona group - Wikipedia

v algebraická geometrie, Cremona skupina, představil Cremona  (1863, 1865 ), je skupina birational automorphisms z -dimenzionální projektivní prostor přes pole . Označuje to nebo nebo .

Skupina Cremona je přirozeně ztotožňována se skupinou automorfismu pole pole racionální funkce v neurčuje se znovu , nebo jinými slovy čistý transcendentální rozšíření z , s stupněm transcendence .

The projektivní obecná lineární skupina řádu , z projektivní transformace, je obsažen ve skupině Cremona řádu . Ti dva jsou si rovni, jen když nebo , v takovém případě musí být čitatel i jmenovatel transformace lineární.

Skupina Cremona ve 2 dimenzích

Ve dvou dimenzích Max Noether a Castelnuovo ukázali, že komplexní skupina Cremona je generována standardní kvadratickou transformací spolu s , ačkoli tam byla nějaká diskuse o tom, zda jejich důkazy byly správné, a Gizatullin (1983) dal úplnou sadu vztahů pro tyto generátory. Struktura této skupiny stále není dobře pochopena, přestože na jejím hledání prvků nebo podskupin bylo mnoho práce.

  • Cantat & Lamy (2010) ukázal, že skupina Cremona není jednoduchá jako abstraktní skupina;
  • Blanc ukázal, že nemá žádné netriviální normální podskupiny, které jsou také uzavřeny v přirozené topologii.
  • Pro konečné podskupiny skupiny Cremona viz Dolgachev & Iskovskikh (2009).

Skupina Cremona ve vyšších dimenzích

O struktuře skupiny Cremona ve třech dimenzích a vyšších je známo málo, ačkoli bylo popsáno mnoho jejích prvků. Blanc (2010) ukázal, že je (lineárně) propojen, odpověděl na otázku Serre (2010). Neexistuje snadný analogie věty Noether – Castelnouvo jako Hudson (1927) ukázal, že skupina Cremona v dimenzi nejméně 3 není generována jejími prvky stupně ohraničenými pevným celým číslem.

Skupiny De Jonquières

Skupina De Jonquières je podskupinou skupiny Cremona následující formy[Citace je zapotřebí ]. Vyberte základ transcendence pro rozšíření pole o . Pak je skupina De Jonquières podskupinou automorfismů mapování podpole pro sebe . Má normální podskupinu danou kremonskou skupinou automorfismů přes pole a kvocientovou skupinou je Cremona skupina přes pole . Lze jej také považovat za skupinu biracních automorfismů svazku vláken .

Když a skupina De Jonquières je skupina Cremonových transformací, které fixují tužku čar skrz daný bod, a je polopřímým produktem a .

Reference