Cramérsova věta (velké odchylky) - Cramérs theorem (large deviations) - Wikipedia

Cramérova věta je zásadním výsledkem teorie velkých odchylek, subdisciplína teorie pravděpodobnosti. Určuje rychlostní funkce série iid náhodné proměnné Slabá verze tohoto výsledku byla poprvé zobrazena Harald Cramér v roce 1938.

Prohlášení

Funkce generující logaritmický moment (což je kumulant -generační funkce) a náhodná proměnná je definován jako:

${ displaystyle Lambda (t) = log operatorname {E} [ exp (tX_ {1})].}$

Nechat ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky}$ být posloupností iid nemovitý náhodné proměnné s funkcí generující konečný logaritmický moment, např. ${ displaystyle Lambda (t) < infty}$ pro všechny ${ displaystyle t in mathbb {R}}$.

Pak Legendární transformace z ${ displaystyle Lambda}$:

${ displaystyle Lambda ^ {*} (x): = sup _ {t in mathbb {R}} left (tx- Lambda (t) right)}$

splňuje,

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} log left (P left ( sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} geq nx right) right) = - Lambda ^ {*} (x)}$

pro všechny ${ displaystyle x> operatorname {E} [X_ {1}].}$

V terminologii teorie velkých odchylek lze výsledek přeformulovat následovně:

Li ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky}$ je řada náhodných proměnných iid, pak rozdělení ${ displaystyle left ({ mathcal {L}} ({ tfrac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}) right) _ {n in mathbb {N}}}$ uspokojit a princip velké odchylky s rychlostní funkce ${ displaystyle Lambda ^ {*}}$.

Reference

• Klenke, Achim (2008). Teorie pravděpodobnosti. Berlín: Springer. str.508. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
• "Cramérova věta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]