Konvexnost (finance) - Convexity (finance)

v matematické finance, konvexnost označuje nelinearity v a finanční model. Jinými slovy, pokud se změní cena podkladové proměnné, nemění se cena výstupu lineárně, ale závisí na druhá derivace (nebo, volně řečeno, podmínky vyššího řádu ) funkce modelování. Geometricky model již není plochý, ale zakřivený a stupeň zakřivení se nazývá konvexita.

Terminologie

Přísně vzato, konvexita označuje druhou derivaci výstupní ceny s ohledem na vstupní cenu. v derivátové ceny, toto se označuje jako Gama (Γ), jeden z Řekové. V praxi je nejvýznamnější z nich konvexnost vazby, druhý derivát ceny dluhopisů s ohledem na úrokové sazby.

Protože druhá derivace je první nelineární člen, a tedy často nejvýznamnější, „konvexita“ se také volně používá k označení nelinearit obecně, včetně výrazů vyššího řádu. Upřesnění modelu pro zohlednění nelinearit se označuje jako a korekce konvexity.

Matematika

Formálně úprava konvexity vychází z Jensenova nerovnost v teorii pravděpodobnosti: očekávaná hodnota konvexní funkce je větší nebo rovna funkci očekávané hodnoty:

${ displaystyle E [f (X)] geq f (E [X]).}$

Geometricky, pokud se cena modelu zakřiví na obou stranách současné hodnoty (funkce výplaty je konvexní a je výše tečna v daném bodě), pak pokud se změní cena podkladu, je cena výstupu větší než je modelováno pouze s použitím první derivace. Naopak, pokud se cena modelu zakřiví dolů (konvexnost je negativní, funkce výplaty je níže tečna), cena výstupu je dolní než je modelováno pouze s použitím první derivace.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Přesná úprava konvexity závisí na modelu budoucích cenových pohybů podkladu (rozdělení pravděpodobnosti) a na modelu ceny, i když je v konvexitě lineární (druhá derivace cenové funkce).

Výklad

Konvexitu lze použít k interpretaci derivátových cen: matematicky je konvexnost opční - cena opce (hodnota opční) odpovídá konvexitě podkladové výplaty.

v Black – Scholes oceňování opcí, vynechání úrokových sazeb a první derivace, Black – Scholesova rovnice se redukuje na ${ displaystyle Theta = - Gamma,}$ msgstr "(nekonečně) je časová hodnota konvexita". To znamená, že hodnota opce je dána konvexností konečné výplaty: jedna má volba koupit nebo nekoupit aktivum (při hovoru; pro prodej je to možnost prodeje) a konečná výplatní funkce ( hokejka tvar) je konvexní - „volitelnost“ odpovídá konvexitě ve výplatě. Pokud si tedy koupíte kupní opci, očekávaná hodnota opce je vyšší než jednoduše převzít očekávanou budoucí hodnotu podkladu a zadat ji do funkce výplaty opcí: očekávaná hodnota konvexní funkce je vyšší než funkce očekávané hodnoty (Jensenova nerovnost). Cena opce - hodnota opce - tedy odráží konvexnost funkce výplaty^{[je zapotřebí objasnění ]}.

Tato hodnota je izolována pomocí a obkročmo - nákup obklíčení za peníze (jehož hodnota se zvyšuje, pokud se cena podkladu zvyšuje nebo snižuje) nemá (zpočátku) žádnou deltu: jeden jednoduše nakupuje konvexnost (volitelnost), aniž by zaujal pozici k podkladovému aktivu - jedna výhoda z stupeň pohybu, ne směr.

Z hlediska řízení rizik znamená dlouhá konvexnost (pozitivní kladná hodnota a tedy (ignorování úrokových sazeb a delta) záporná Theta) znamená, že člověk těží z volatility (pozitivní gama), ale časem ztrácí peníze (záporná Theta) - jeden čistý zisk při pohybu cen více než se očekávalo, a čistá ztráta, pokud se ceny pohybují méně než se očekávalo.

Úpravy konvexity

Z pohledu modelování dochází k úpravám konvexity pokaždé, když podkladové modelované finanční proměnné nejsou martingale pod cenové opatření. Přihlašování Girsanovova věta^[1] umožňuje vyjádřit dynamiku modelovaných finančních proměnných v rámci cenové míry, a proto odhadnout tuto úpravu konvexity. Typické příklady úprav konvexity zahrnují:

• Quanto možnosti: podklad je denominován v měně odlišné od měny platby. Pokud je diskontovaný podklad martingale v rámci jeho domácího rizikově neutrálního opatření, již to není v rámci měnového rizika platebního rizika neutrálního
• Výměna konstantní splatnosti (CMS) nástroje (swapy, čepice / podlahy)^[2]
• Rozpětí upravené podle možností (OAS) analýza pro cenné papíry zajištěné hypotékou nebo jiný splatné dluhopisy
• Výpočet forwardové sazby IBOR z Eurodollar futures
• IBOR vpřed pod Tržní model LIBOR (LMM)

Reference

• Benhamou, Eric, Globální deriváty: produkty, teorie a praxe, 111–120, 5.4 Nastavení konvexity (zejména 5.4.1 Korekce konvexity) ISBN  978-981-256-689-8
• Pelsser, Antoon. "Matematický základ korekce konvexity". SSRN  267995. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)