Funkce Control-Lyapunov - Control-Lyapunov function
v teorie řízení, a funkce Control-Lyapunov[1] je Lyapunovova funkce pro systém s řídicími vstupy. Běžná funkce Lyapunov se používá k testování, zda a dynamický systém je stabilní (přísněji, asymptoticky stabilní). To znamená, zda systém začíná ve stavu v nějaké doméně D zůstane v D, nebo pro asymptotická stabilita se nakonec vrátí do . Funkce control-Lyapunov se používá k testování, zda je systém zpětná vazba stabilizovatelná, to je, zda pro jakýkoli stát X existuje ovládací prvek tak, že lze systém uvést do nulového stavu použitím ovládání u.
Více formálně předpokládejme, že jsme dostali autonomní dynamický systém
kde je stavový vektor a je řídicí vektor a my ho chceme zpětnou vazbou stabilizovat v nějaké doméně .
Definice. Funkce Control-Lyapunov je funkce který je neustále diferencovatelný, pozitivně určitý (tj je pozitivní, kromě v kde je nula) a tak dále
Poslední podmínkou je klíčová podmínka; slovy to říká, že pro každý stát X můžeme najít ovládací prvek u která sníží „energii“ PROTI. Intuitivně, pokud v každém stavu vždy najdeme způsob, jak snížit energii, měli bychom být nakonec schopni přivést energii na nulu, tj. Zastavit systém. Toto je důsledné díky následujícímu výsledku:
Artsteinova věta. Dynamický systém má diferencovatelnou funkci ovládání - Lyapunov právě tehdy, když existuje pravidelná stabilizační zpětná vazba u(X).
Nemusí být snadné najít funkci control-Lyapunov pro daný systém, ale pokud ji díky nějaké vynalézavosti a štěstí najdeme, pak se problém stabilizace zpětné vazby značně zjednoduší, ve skutečnosti se redukuje na řešení statické nelineární programovací problém
pro každý stát X.
Teorii a aplikaci řídicích Lyapunovových funkcí vyvinuli Z. Artstein a E. D. Sontag v 80. a 90. letech.
Příklad
Zde je charakteristický příklad použití funkce kandidáta na Lyapunov na kontrolní problém.
Zvažte nelineární systém, což je systém hmota-pružina-tlumič s kalením pružinou a hmotou závislou na poloze popsanou v
Nyní daný požadovaný stav, a skutečný stav, , s chybou, , definovat funkci tak jako
Poté je kandidátem Control-Lyapunov
což je pro všechny pozitivní , .
Nyní vezmeme časovou derivaci
Cílem je získat časovou derivaci
který je globálně exponenciálně stabilní, pokud je globálně pozitivní definitivní (což to je).
Z tohoto důvodu chceme pravou závorku ,
splnit požadavek
který po nahrazení dynamiky, , dává
Řešení pro dává kontrolní zákon
s a , oba větší než nula, jako laditelné parametry
Tento kontrolní zákon zaručí globální exponenciální stabilitu, protože po substituci do časových derivátů se výnosy podle očekávání
což je lineární diferenciální rovnice prvního řádu, která má řešení
A proto chyba a míra chyb, pamatuji si to , exponenciálně se rozpadá na nulu.
Chcete-li z toho vyladit konkrétní odpověď, je nutné nahradit ji zpět do řešení, které jsme odvodili a vyřešit pro . Toto je ponecháno jako cvičení pro čtenáře, ale prvních pár kroků řešení je:
které lze poté vyřešit pomocí libovolných metod lineární diferenciální rovnice.
Poznámky
- ^ Freeman (46)
Reference
- Freeman, Randy A .; Petar V. Kokotović (2008). Robustní nelineární design řízení (ilustrováno, dotisk ed.). Birkhäuser. p. 257. ISBN 0-8176-4758-9. Citováno 2009-03-04.