Počítání omezení - Constraint counting

v matematika, počítání omezení počítá počet omezení za účelem porovnání s počtem proměnné, parametry atd., které mohou být stanoveny svobodně, myšlenka spočívá v tom, že ve většině případů je počet nezávislých možností, které lze učinit, převyšující počet volných možností nad prvními.

Například v lineární algebra pokud je počet omezení (nezávislé rovnice) v a soustava lineárních rovnic rovná se počtu neznámých, pak existuje právě jedno řešení; pokud existuje méně nezávislých rovnic než neznámých, existuje nekonečné množství řešení; a pokud počet nezávislých rovnic přesáhne počet neznámých, pak neexistují žádná řešení.

V kontextu parciální diferenciální rovnice, počítání omezení je hrubý, ale často užitečný způsob počítání počtu bezplatné funkce potřeba specifikovat řešení a parciální diferenciální rovnice.

Parciální diferenciální rovnice

Zvažte parciální diferenciální rovnici druhého řádu ve třech proměnných, jako je například dvojrozměrnost vlnová rovnice

${ displaystyle u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}.}$

Často je výhodné uvažovat o takové rovnici jako o přepsat pravidlo což nám umožňuje přepsat libovolné dílčí derivace funkce ${ displaystyle u (t, x, y)}$ použití méně částečných částí, než kolik by bylo potřeba pro libovolnou funkci. Například pokud ${ displaystyle u}$ splňuje vlnovou rovnici, můžeme přepsat

${ displaystyle u_ {tyt} = u_ {tty} = u_ {xxy} + u_ {yyy}}$

kde v první rovnosti jsme apelovali na to částečné dojíždění derivátů.

Lineární rovnice

Chcete-li na to odpovědět v důležitém zvláštním případě a lineární parciální diferenciální rovnice, zeptal se Einstein: kolik parciálních derivací řešení může být lineárně nezávislé ? Je vhodné zaznamenat jeho odpověď pomocí obyčejná generující funkce

${ displaystyle s ( xi) = součet _ {k = 0} ^ { infty} s_ {k} xi ^ {k}}$

kde ${ displaystyle s_ {k}}$ je přirozené číslo počítající počet lineárně nezávislých parciálních derivací (řádu k) libovolné funkce v prostoru řešení dané rovnice.

Kdykoli funkce splňuje nějakou parciální diferenciální rovnici, můžeme některé z nich eliminovat pomocí příslušného pravidla přepsání, protože další smíšené částice se nutně staly lineárně závislými. Konkrétně se jedná o výkonovou řadu, která počítá rozmanitost libovolný funkce tří proměnných (bez omezení) je

${ displaystyle f ( xi) = { frac {1} {(1- xi) ^ {3}}} = 1 + 3 xi +6 xi ^ {2} +10 xi ^ {3} + dots}$

ale výkonové řady počítající ty v prostoru řešení nějakého druhého řádu p.d.e. je

${ displaystyle g ( xi) = { frac {1- xi ^ {2}} {(1- xi) ^ {3}}} = 1 + 2 xi +5 xi ^ {2} + 7 xi ^ {3} + tečky}$

které záznamy můžeme eliminovat jeden dílčí řád druhého řádu ${ displaystyle u_ {tt}}$, tři částečné objednávky třetího řádu ${ displaystyle u_ {ttt}, , u_ {ttx}, , u_ {tty}}$, a tak dále.

Obecněji řečeno, o.g.f. pro libovolnou funkci n proměnných je

${ displaystyle s [n] ( xi) = 1 / (1- xi) ^ {n} = 1 + n , xi + vlevo ({ začátek {matice} n 2 konec {matice }} right) , xi ^ {2} + left ({ begin {matrix} n + 1 3 end {matrix}} right) , xi ^ {3} + dots}$

kde koeficienty nekonečna výkonová řada generující funkce jsou konstruovány pomocí vhodné nekonečné posloupnosti binomické koeficienty, a výkonová řada pro funkci požadovanou k uspokojení lineární rovnice m-tého řádu je

${ displaystyle g ( xi) = { frac {1- xi ^ {m}} {(1- xi) ^ {n}}}}$

Další,

${ displaystyle { frac {1- xi ^ {2}} {(1- xi) ^ {3}}} = { frac {1+ xi} {(1- xi) ^ {2} }}}$

což lze interpretovat tak, že předpovídá, že řešení lineárního PDE druhého řádu v tři proměnné je vyjádřitelný dvěma svobodně zvolený funkce dva proměnné, z nichž jedna se použije okamžitě a druhá až po převzetí a první derivace, abychom vyjádřili řešení.

Obecné řešení problému počáteční hodnoty

Chcete-li ověřit tuto předpověď, připomeňte si řešení problém počáteční hodnoty

${ displaystyle u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}, ; u (0, x, y) = p (x, y), ; u_ {t} (0, x, y) = q (x, y)}$

Uplatnění Laplaceova transformace ${ displaystyle u (t, x, y) mapsto [Lu] ( omega, x, y)}$ dává

${ displaystyle - omega ^ {2} , [Lu] + omega , p (x, y) + q (x, y) + [Lu] _ {x} + [Lu] _ {y}}$

Uplatnění Fourierova transformace ${ displaystyle [Lu] ( omega, x, y) mapsto [FLU] ( omega, m, n)}$ dvěma prostorovým proměnným dává

${ displaystyle - omega ^ {2} , [FLu] + omega , [Fp] + [Fq] - (m ^ {2} + n ^ {2}) , [FLu]}$

nebo

${ displaystyle [FLu] ( omega, m, n) = { frac { omega , [Fp] (m, n) + [Fq] (m, n)} { omega ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}}}}$

Použití inverzní Laplaceovy transformace dává

${ displaystyle [Fu] (t, m, n) = [Fp] (m, n) , cos ({ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}} , t) + { frac {[Fq] (m, n) , sin ({ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}} , t)} { sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}}$

Použití inverzní Fourierovy transformace dává

${ displaystyle u (t, x, y) = Q (t, x, y) + P_ {t} (t, x, y)}$

kde

${ displaystyle P (t, x, y) = { frac {1} {2 pi}} , int _ {(x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2 }$

${ displaystyle Q (t, x, y) = { frac {1} {2 pi}} , int _ {(x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2 }$

Zde jsou p, q libovolné (dostatečně plynulé) funkce dvou proměnných, takže (vzhledem k jejich skromné ​​časové závislosti) se integrály P, Q počítají také jako „volně zvolené“ funkce dvou proměnných; jak jsme slíbili, jeden z nich je jednou diferencován a poté přidán k druhému, aby vyjádřil obecné řešení problému počáteční hodnoty pro dvourozměrnou vlnovou rovnici.

Kvazilineární rovnice

V případě nelineární rovnice bude jen zřídka možné získat obecné řešení v uzavřené formě. Pokud je však rovnice kvazilineární (lineární v derivátech nejvyššího řádu), pak můžeme stále získat přibližné informace podobné výše uvedenému: zadání člena prostoru řešení bude „modulo nelineární kvibbles“ ekvivalentní zadání určitého počtu funkcí v menším počtu proměnných. Počet těchto funkcí je Einsteinova síla p.d.e. V jednoduchém příkladu výše je síla dvě, i když v tomto případě jsme byli schopni získat přesnější informace.

Reference

• Siklos, S. T. C. (1996). "Počítání řešení Einsteinovy ​​rovnice". Třída. Kvantová gravitace. 13 (7): 1931–1948. doi:10.1088/0264-9381/13/7/021. Aplikace počítání omezení na Riemannovu geometrii a na obecnou relativitu.