Distribuce důvěry - Confidence distribution - Wikipedia

v statistická inference, pojem a rozdělení důvěry (CD) byl často volně označován jako distribuční funkce v prostoru parametrů, která může představovat intervaly spolehlivosti všech úrovní pro požadovaný parametr. Historicky to bylo obvykle konstruováno převrácením horních mezí dolních stran intervalů spolehlivosti všech úrovní a také to bylo běžně spojováno s referenčním^[1] tlumočení (základní rozdělení ), ačkoli se jedná o čistě frekventovaný koncept.^[2] Distribuce spolehlivosti NENÍ funkcí distribuce pravděpodobnosti sledovaného parametru, ale přesto může být funkcí užitečnou pro vytváření závěrů.^[3]

V posledních letech došlo k nárůstu obnoveného zájmu o rozdělení důvěry.^[3] V novějším vývoji se koncept distribuce důvěry ukázal jako čistě častý koncept, bez jakéhokoli fiduciálního výkladu nebo uvažování. Koncepčně se distribuce důvěry neliší od a bodový odhad nebo odhad intervalu (interval spolehlivosti ), ale k odhadu sledovaného parametru používá distribuční funkci závislou na vzorku v prostoru parametrů (místo bodu nebo intervalu).

Jednoduchým příkladem rozdělení spolehlivosti, který se široce používá ve statistické praxi, je a bootstrap rozdělení.^[4] Vývoj a interpretace distribuce bootstrapu nezahrnuje žádné základní argumenty; totéž platí pro koncept rozdělení důvěry. Pojem distribuce spolehlivosti je však mnohem širší než distribuce bootstrap. Nedávný výzkum zejména naznačuje, že zahrnuje a sjednocuje širokou škálu příkladů, od běžných parametrických případů (včetně většiny příkladů klasického vývoje Fisherovy základní distribuce) až po distribuce bootstrap, p-hodnota funkce,^[5] normalizováno funkce pravděpodobnosti a v některých případech Bayesian předchůdci a Bayesian zadní.^[6]

Stejně jako Bayesovská zadní distribuce obsahuje nepřeberné množství informací pro jakýkoli typ Bayesovský závěr, distribuce důvěry obsahuje velké množství informací pro vytváření téměř všech typů častých závěrů, včetně bodové odhady, intervaly spolehlivosti kritické hodnoty, statistická síla a hodnoty p,^[7] mezi ostatními. Některé nedávné události zdůraznily slibný potenciál konceptu CD jako účinného inferenčního nástroje.^[3]

Historie konceptu CD

Neyman (1937)^[8] představil myšlenku „důvěry“ ve svém seminárním příspěvku o intervalech spolehlivosti, který objasnil vlastnost častého opakování. Podle Frasera,^[9] zárodek (myšlenka) rozdělení důvěry lze vysledovat dokonce až k Bayesovi (1763)^[10] a Fisher (1930).^[1] Ačkoli se zdá, že fráze byla poprvé použita v Cox (1958).^[11] Někteří vědci považují distribuci spolehlivosti za „neymanovskou interpretaci Fisherových fiduciálních distribucí“,^[12] který byl „zuřivě sporný Fisherem“.^[13] Rovněž se věří, že tyto „neproduktivní spory“ a Fisherova „tvrdohlavá naléhavost“^[13] může být důvodem, že koncept distribuce důvěry byl dlouho nesprávně chápán jako základní koncept a nebyl plně rozvinut v rámci frekventovaného rámce.^[6][14] Ve skutečnosti je distribuce důvěry čistě frekventovaný koncept s čistě frekventovanou interpretací a má také vazby na Bayesovské odvozovací koncepty a základní argumenty.

Definice

Klasická definice

Klasicky je distribuce spolehlivosti definována převrácením horních mezí řady spodních intervalů spolehlivosti.^{[15][16][stránka potřebná ]} Zejména,

Pro každého α in (0, 1), let (−∞,ξ_n(α)] být o 100α% nižší interval spolehlivosti pro θ, kde ξ_n(α) = ξ_n(X_n, α) je spojitý a zvyšuje se v α pro každý vzorek X_n. Pak, H_n(•) = ξ_n⁻¹(•) je rozdělení důvěry proθ.

Efron uvedl, že toto rozdělení „přiřadí pravděpodobnost 0,05 θ leží mezi horními cílovými body intervalu spolehlivosti 0,90 a 0,95, atd. “a„ má silné intuitivní přitažlivost “.^[16] V klasické literatuře^[3] funkce distribuce spolehlivosti je interpretována jako distribuční funkce parametru θ, což je nemožné, pokud se nejedná o fiduciální uvažování, protože v častém prostředí jsou parametry pevné a nepravidelné.

Interpretovat funkci CD zcela z hlediska frekventanta a neinterpretovat ji jako distribuční funkci parametru (fixní / nenáhodný) je jedním z hlavních odchylek nedávného vývoje ve srovnání s klasickým přístupem. Pěkné na zacházení s distribucemi důvěry jako s čistě frekventovaným konceptem (podobně jako u odhadu bodů) je to, že je nyní osvobozeno od těch omezujících, ne-li kontroverzních, omezení stanovených Fisherem pro fiduciální distribuce.^[6][14]

Moderní definice

Platí následující definice;^[12][17][18] Θ je prostor parametrů neznámého sledovaného parametru θ, a χ je ukázkový prostor odpovídající datům X_n={X₁, ..., X_n}:

Funkce H_n(•) = H_n(X_n, •) zapnuto χ × Θ → [0, 1] se nazývá distribuce spolehlivosti (CD) parametru θ, pokud splňuje dva požadavky:

• (R1) Za každou danou X_n ∈ χ, H_n(•) = H_n(X_n, •) je spojitá kumulativní distribuční funkce na Θ;
• (R2) Na skutečné hodnotě parametru θ = θ₀, H_n(θ₀) ≡ H_n(X_n, θ₀), jako funkce vzorku X_n, následuje rovnoměrné rozdělení U[0, 1].

Také funkce H je asymptotické CD (aCD), pokud U[0, 1] požadavek platí pouze asymptoticky a požadavek kontinuity na H_n(•) je zrušeno.

Z netechnického hlediska je distribuce spolehlivosti funkcí parametru i náhodného vzorku se dvěma požadavky. První požadavek (R1) jednoduše vyžaduje, aby CD bylo distribucí v prostoru parametrů. Druhý požadavek (R2) nastavuje omezení funkce tak, aby závěry (odhady bodů, intervaly spolehlivosti a testování hypotéz atd.) Založené na rozdělení spolehlivosti měly žádoucí frekventované vlastnosti. To je podobné omezením v odhadu bodu k zajištění určitých požadovaných vlastností, jako je nestrannost, konzistence, účinnost atd.^[6][19]

Distribuce spolehlivosti odvozená převrácením horních mezí intervalů spolehlivosti (klasická definice) také splňuje požadavky ve výše uvedené definici a tato verze definice je v souladu s klasickou definicí.^[18]

Na rozdíl od klasického základního závěru může být k dispozici více než jedno rozdělení spolehlivosti pro odhad parametru v jakémkoli konkrétním nastavení. Na rozdíl od klasického základního závěru také optimalita není součástí požadavku. V závislosti na nastavení a použitém kritériu někdy existuje jedinečné „nejlepší“ (z hlediska optimality) rozdělení spolehlivosti. Někdy ale není k dispozici optimální rozdělení spolehlivosti, nebo v některých extrémních případech možná nebudeme schopni najít ani smysluplné rozdělení spolehlivosti. To se neliší od praxe bodového odhadu.

Příklady

Příklad 1: Normální průměr a rozptyl

Předpokládejme, že normální vzorek X_i ~ N(μ, σ²), i = 1, 2, ..., n je dáno.

(1) Rozptyl σ² je známo

Nechat, Φ být kumulativní distribuční funkcí standardního normálního rozdělení a ${ displaystyle F_ {t_ {n-1}}}$ kumulativní distribuční funkce Studenta ${ displaystyle t_ {n-1}}$ rozdělení. Obě funkce ${ displaystyle H _ { mathit { Phi}} ( mu)}$ a ${ displaystyle H_ {t} ( mu)}$ dána

${ displaystyle H _ { Phi} ( mu) = { mathit { Phi}} vlevo ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})}} { sigma}} right), quad { text {and}} quad H_ {t} ( mu) = F_ {t_ {n-1}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})} {s}} vpravo),}$

splňují dva požadavky v definici CD a jsou to funkce distribuce důvěryμ.^[3] Dále

${ displaystyle H_ {A} ( mu) = { mathit { Phi}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})}} s }že jo)}$

splňuje definici asymptotického rozdělení spolehlivosti, když n→ ∞ a je to asymptotické rozdělení spolehlivosti pro μ. Použití ${ displaystyle H_ {t} ( mu)}$ a ${ displaystyle H_ {A} ( mu)}$ jsou ekvivalentní stavu, který používáme ${ displaystyle N ({ bar {X}}, sigma ^ {2})}$ a ${ displaystyle N ({ bar {X}}, s ^ ​​{2})}$ odhadovat ${ displaystyle mu}$, resp.

(2) Rozptyl σ² není známo

Pro parametr μ, od té doby ${ displaystyle H _ { mathit { Phi}} ( mu)}$ zahrnuje neznámý parametr σ a porušuje dva požadavky v definici CD, již není „odhadem distribuce“ ani distribucí spolehlivosti proμ.^[3] Nicméně, ${ displaystyle H_ {t} ( mu)}$ je stále CD pro μ a ${ displaystyle H_ {A} ( mu)}$ je aCD proμ.

Pro parametr σ², funkce kumulativní distribuce závislá na vzorku

${ displaystyle H _ { chi ^ {2}} ( theta) = 1-F _ { chi _ {n-1} ^ {2}} ((n-1) s ^ {2} / theta)}$

je funkce distribuce spolehlivosti pro σ².^[6] Tady, ${ displaystyle F _ { chi _ {n-1} ^ {2}}}$ je kumulativní distribuční funkce ${ displaystyle chi _ {n-1} ^ {2}}$ rozdělení .

V případě, že je rozptyl σ² je známo, ${ displaystyle H _ { mathit { Phi}} ( mu) = { mathit { Phi}} vlevo ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}} )} { sigma}} vpravo)}$ je optimální z hlediska vytváření nejkratších intervalů spolehlivosti na jakékoli dané úrovni. V případě, že odchylka σ² není známo, ${ displaystyle H_ {t} ( mu) = F_ {t_ {n-1}} left ({ frac {{ sqrt {n}} ( mu - { bar {X}})}} s }}že jo)}$ je optimální rozdělení spolehlivosti pro μ.

Příklad 2: Bivariační normální korelace

Nechat ρ označuje korelační koeficient a bivariate normální populace. Je dobře známo, že Fisher z definováno Fisherova transformace:

${ displaystyle z = {1 nad 2} ln {1 + r nad 1-r}}$

má omezující distribuce ${ displaystyle N ({1 nad 2} ln {{1+ rho} nad {1- rho}}, {1 nad n-3})}$ s rychlou rychlostí konvergence, kde r je ukázková korelace a n je velikost vzorku.

Funkce

${ displaystyle H_ {n} ( rho) = 1 - { mathit { Phi}} left ({ sqrt {n-3}} left ({1 over 2} ln {1 + r nad 1 r} - {1 nad 2} ln {{1+ rho} nad {1- rho}} vpravo) vpravo)}$

je asymptotické rozdělení spolehlivosti pro ρ.^{[Citace je zapotřebí ]}

Použití distribuce spolehlivosti pro odvození

Interval spolehlivosti

Z definice CD je zřejmé, že interval ${ displaystyle (- infty, H_ {n} ^ {- 1} (1- alpha)], [H_ {n} ^ {- 1} ( alpha), infty)}$ a ${ displaystyle [H_ {n} ^ {- 1} ( alpha / 2), H_ {n} ^ {- 1} (1- alpha / 2)]}$ poskytnout 100 (1 -α)% - intervaly spolehlivosti různých druhů, pro θ, pro všechny α ∈ (0, 1). Taky ${ displaystyle [H_ {n} ^ {- 1} ( alpha _ {1}), H_ {n} ^ {- 1} (1- alpha _ {2})]}$ je úroveň 100 (1 -α₁ − α₂)% interval spolehlivosti pro parametr θ pro všechny α₁ > 0, α₂ > 0 a α₁ + α₂ <1. Tady, ${ displaystyle H_ {n} ^ {- 1} ( beta)}$ je 100β% kvantil ${ displaystyle H_ {n} ( theta)}$ nebo to řeší θ v rovnici ${ displaystyle H_ {n} ( theta) = beta}$. Totéž platí pro CD, kde je úroveň spolehlivosti dosažena v limitu. Někteří autoři navrhli jejich použití pro grafické zobrazení hodnot parametrů, které jsou konzistentní s daty, místo pro účely pokrytí nebo výkonu.^[20][21]

Bodový odhad

Bodové odhady lze také sestavit na základě odhadu distribuce spolehlivosti pro sledovaný parametr. Například zadáno H_n(θ) CD pro parametr θ, přirozené volby bodových odhadců zahrnují medián M_n = H_n⁻¹(1/2), průměr ${ displaystyle { bar { theta}} _ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} t , mathrm {d} H_ {n} (t)}$a maximální bod hustoty CD

${ displaystyle { widehat { theta}} _ {n} = arg max _ { theta} h_ {n} ( theta), h_ {n} ( theta) = H '_ {n} ( theta).}$

Za určitých skromných podmínek lze mimo jiné dokázat, že všechny tyto bodové odhady jsou konzistentní.^[6][22]

Testování hypotéz

Lze odvodit p-hodnotu pro test, buď jednostranný nebo dvoustranný, týkající se parametruθ, z jeho rozdělení důvěry H_n(θ).^[6][22] Označme hmotností pravděpodobnosti množiny C pod funkcí rozdělení spolehlivosti ${ displaystyle p_ {s} (C) = H_ {n} (C) = int _ {C} mathrm {d} H ( theta).}$ Tento p_s(C) se v závěru CD nazývá „podpora“ a v základní literatuře se také označuje jako „víra“.^[23] My máme

(1) Pro jednostranný test K.₀: θ ∈ C vs. K.₁: θ ∈ C^C, kde C je typu (−∞,b] nebo [b, ∞), z definice CD je patrné, že sup_θ ∈ CP_θ(p_s(C) ≤ α) = α. Tím pádem, p_s(C) = H_n(C) je odpovídající p-hodnota testu.

(2) Pro jednorázový test K.₀: θ = b vs. K.₁: θ ≠ b, P_{{K.0: θ = b}}(2 min {p_s(C_hle), lze z definice CD ukázat, že p_s(C_nahoru)} ≤ α) = α. Tedy 2 min {p_s(C_hle), p_s(C_nahoru)} = 2 min {H_n(b), 1 − H_n(b)} je odpovídající p-hodnota testu. Tady, C_hle = (−∞, b] a C_nahoru = [b, ∞).

Viz obrázek 1 od Xie a Singha (2011)^[6] pro grafické znázornění závěru o CD.

Implementace

Několik statistických programů implementovalo schopnost konstruovat a grafovat distribuce spolehlivosti.

R prostřednictvím souhlasit,^[24][25] pvaluefunctions,^[26] a epizoda^[27] balíčky

Vynikat, přes epizoda^[28]

Stata, přes souhlasit^[24]

Viz také

• Pravděpodobnost pokrytí

Reference

Bibliografie