Srovnávací funkce - Comparison function

v aplikovaná matematika, srovnávací funkce existuje několik tříd spojité funkce, které se používají v teorie stability charakterizovat vlastnosti stability řídicích systémů jako Stabilita Lyapunova, rovnoměrná asymptotická stabilita atd.

Nechat ${displaystyle C (X, Y)}$ být prostorem spojitých funkcí působících z ${displaystyle X}$ na ${displaystyle Y}$. Nejdůležitější třídy srovnávacích funkcí jsou:

${displaystyle {egin {aligned} {mathcal {P}} &: = left {gamma in C ({mathbb {R}} _ {+}, {mathbb {R}} _ {+}): gamma (0) = 0 {ext {and}} gamma (r)> 0 {ext {for}} r> 0ight} [4pt] {mathcal {K}} &: = left {gamma in {mathcal {P}}: gamma {ext {se přísně zvyšuje}} ight} [4pt] {mathcal {K}} _ {infty} &: = left {gamma in {mathcal {K}}: gamma {ext {is unbounded}} ight} [4pt] {mathcal {L}} &: = {gamma in C ({mathbb {R}} _ {+}, {mathbb {R}} _ {+}): gamma {ext {is přísně klesá s}} lim _ { tightarrow infty} gamma (t) = 0} [4pt] {mathcal {KL}} &: = left {eta in C ({mathbb {R}} _ {+} imes {mathbb {R}} _ {+} , {mathbb {R}} _ {+}): eta {ext {is Continuous,}} eta (cdot, t) in {mathcal {K}}, forall tgeq 0, eta (r, cdot) in {mathcal { L}}, forall r> 0ight} end {aligned}}}$

Funkce třídy ${displaystyle {mathcal {P}}}$ se také nazývají funkce s určitou funkcí.

Jedna z nejdůležitějších vlastností srovnávacích funkcí je dána Sontag's ${displaystyle {mathcal {KL}}}$-Lemma,^[1] pojmenoval Eduardo Sontag. Říká se, že pro každého ${displaystyle eta in {mathcal {KL}}}$ a jakékoli ${displaystyle lambda> 0}$ existují ${displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2} in {mathcal {K_ {infty}}}}$:

${displaystyle alpha _ {1} (eta (s, t)) leq alpha _ {2} (s) e ^ {- lambda t}, quad t, sin mathbb {R} _ {+}.}$

(1)

Mnoho dalších užitečných vlastností srovnávacích funkcí najdete v.^[2][3]

Srovnávací funkce se primárně používají k získání kvantitativního přepracování stabilitních vlastností, jako je Lyapunovova stabilita, uniformní asymptotická stabilita atd. Tyto přepracování jsou často užitečnější než kvalitativní definice stabilitních vlastností uvedené v ${displaystyle varepsilon {ext {-}} delta}$ Jazyk.

Jako příklad zvažte běžnou diferenciální rovnici

${displaystyle {dot {x}} = f (x),}$

(2)

kde ${displaystyle f: {mathbb {R}} ^ {n} o {mathbb {R}} ^ {n}}$ je místně Lipschitz. Pak:

• (2) je globálně stabilní právě když existuje ${displaystyle sigma in {mathcal {K_ {infty}}}}$ takže pro jakoukoli počáteční podmínku ${displaystyle x_ {0} v {mathbb {R}} ^ {n}}$ a pro všechny ${displaystyle tgeq 0}$ to platí

${displaystyle | x (t) | leq sigma (| x_ {0} |).}$

(3)

• (2) je globálně asymptoticky stabilní právě když existuje ${displaystyle eta in {mathcal {KL}}}$ takže pro jakoukoli počáteční podmínku ${displaystyle x_ {0} v {mathbb {R}} ^ {n}}$ a pro všechny ${displaystyle tgeq 0}$ to platí

${displaystyle | x (t) | leq eta (| x_ {0} |, t).}$

(4)

Formalismus srovnávacích funkcí je v EU široce používán stabilita vstup-stav teorie.

Reference