Choquet hra - Choquet game - Wikipedia

The Choquet hra je topologická hra pojmenoval podle Gustave Choquet, který v roce 1969 jako první zkoumal takové hry.^[1] Úzce související hra je známá jako silná hra Choquet.

Nechat ${ displaystyle X}$ být neprázdný topologický prostor. Choquet hra z ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle G (X)}$, je definován následovně: Hráč I si vybere ${ displaystyle U_ {0}}$, neprázdný otevřená podmnožina z ${ displaystyle X}$, pak si vybere Hráč II ${ displaystyle V_ {0}}$, neprázdná otevřená podmnožina ${ displaystyle U_ {0}}$, pak si vybere Hráč I. ${ displaystyle U_ {1}}$, neprázdná otevřená podmnožina ${ displaystyle V_ {0}}$atd. Hráči pokračují v tomto procesu a vytvářejí sekvenci ${ displaystyle U_ {0} supseteq V_ {0} supseteq U_ {1} supseteq V_ {1} supseteq U_ {2} ...}$ Li ${ displaystyle bigcap limits _ {i = 0} ^ { infty} U_ {i} = emptyset}$ pak vyhrává Hráč I, jinak vyhrává Hráč II.

Bylo prokázáno John C. Oxtoby že neprázdný topologický prostor ${ displaystyle X}$ je Baireův prostor právě když Hráč I nemá žádnou výherní strategii. Neprázdný topologický prostor ${ displaystyle X}$ ve kterém má hráč II vítěznou strategii se nazývá a Čokoládový prostor. (Všimněte si, že je možné, že žádný z hráčů nemá vítěznou strategii.) Každý Choquetův prostor je tedy Baire. Na druhou stranu existují Baireovy prostory (sudé oddělitelný měřitelný ty), které nejsou Choquetovými prostory, takže konverzace selže.

Silná hra Choquet z ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle G ^ {s} (X)}$, je definován podobně, až na to, že si hráč zvolí ${ displaystyle (x_ {0}, U_ {0})}$, pak si vybere Hráč II ${ displaystyle V_ {0}}$, pak si vybere Hráč I. ${ displaystyle (x_ {1}, U_ {1})}$atd., takhle ${ displaystyle x_ {i} v U_ {i}, V_ {i}}$ pro všechny ${ displaystyle i}$. Topologický prostor ${ displaystyle X}$ ve kterém má hráč II vítěznou strategii pro ${ displaystyle G ^ {s} (X)}$ se nazývá a silný Choquetův prostor. Každý silný Choquetův prostor je prostorem Choquet, i když konverzace neplatí.

Všechny neprázdné kompletní metrické prostory a kompaktní T₂ mezery jsou silní Choquet. (V prvním případě hráč II ${ displaystyle (x_ {i}, U_ {i})}$, vybírá ${ displaystyle V_ {i}}$ takhle ${ displaystyle operatorname {diam} (V_ {i}) <1 / i}$ a ${ displaystyle operatorname {cl} (V_ {i}) subseteq V_ {i-1}}$. Pak sekvence ${ displaystyle left {x_ {i} right } až x ve V_ {i}}$ pro všechny ${ displaystyle i}$.) Jakákoli podmnožina silného Choquetova prostoru, která je a ${ displaystyle G _ { delta}}$ soubor je silný Choquet. Metrizovatelné prostory jsou zcela měřitelný právě když jsou silní Choquet.^[2][3]

Reference