Posloupnost volby - Choice sequence

v intuicionistická matematika, a sekvence volby je konstruktivní formulace a sekvence. Vzhledem k tomu, intuitivní školy matematiky, jak je formulováno L. E. J. Brouwer, odmítá myšlenku a dokončené nekonečno, abychom mohli použít posloupnost (což je v klasické matematice nekonečný objekt), musíme mít formulaci konečného, konstruovatelného objektu, který může sloužit stejnému účelu jako posloupnost. Tak Brouwer formuloval sekvenci volby, která je dána spíše jako konstrukce, než jako abstraktní, nekonečný objekt.

Zákonité a nezákonné sekvence

Rozlišuje se mezi nezákonný a zákonný sekvence. A zákonný posloupnost je taková, kterou lze popsat úplně - jedná se o dokončenou konstrukci, kterou lze plně popsat. Například přirozená čísla ${displaystyle mathbb {N}}$ lze považovat za zákonitou posloupnost: posloupnost může být plně konstruktivně popsána jedinečným prvkem 0 a a nástupnická funkce. Vzhledem k této formulaci víme, že ${displaystyle i}$ th element v pořadí přirozených čísel bude číslo ${displaystyle i-1}$ . Podobně, a funkce ${displaystyle f: mathbb {N} mapsto mathbb {N}}$ mapování z přirozených čísel na přirozená čísla účinně určuje hodnotu jakéhokoli argumentu, který trvá, a popisuje tak zákonitou posloupnost.

A nezákonný (taky, volný, uvolnit) sekvence, na druhé straně, je ta, která není předem určena. Je třeba o něm uvažovat jako o postupu pro generování hodnot pro argumenty 0, 1, 2, .... To znamená, že nezákonná posloupnost ${displaystyle alpha}$ je postup generování ${displaystyle alpha _ {0}}$ , ${displaystyle alpha _ {1}}$ , ... (prvky sekvence ${displaystyle alpha}$ ) takové, že:

V daném okamžiku konstrukce sekvence ${displaystyle alpha}$ , je znám pouze počáteční segment sekvence a na budoucí hodnoty parametru nejsou kladena žádná omezení ${displaystyle alpha}$ ; a
Lze předem určit počáteční segment ${displaystyle langle alpha _ {0}, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {k} úhel}$ z ${displaystyle alpha}$ .

Všimněte si, že první bod výše je mírně zavádějící, protože můžeme určit například to, že hodnoty v sekvenci budou čerpány výhradně ze sady přirozených čísel - můžeme určit, a priori, rozsah sekvence.

Kanonickým příkladem protiprávní sekvence je řada rolí a zemřít. Určíme, který nástroj použít, a volitelně předem určíme hodnoty prvního ${displaystyle k}$ role (pro ${displaystyle kin mathbb {N}}$ ). Dále omezujeme hodnoty sekvence, které mají být v sadě ${displaystyle {1,2,3,4,5,6}}$ . Tato specifikace zahrnuje postup pro generování dané bezprávné sekvence. V žádném okamžiku tedy není známa žádná konkrétní budoucí hodnota sekvence.

Axiomatizace

Existují dva axiomy zejména že očekáváme, že budou zachovány vybrané sekvence, jak je popsáno výše. Nechat ${displaystyle alpha in n}$ označit vztah "sekvence ${displaystyle alpha}$ začíná počáteční sekvencí ${displaystyle n}$ "pro zvolenou sekvenci ${displaystyle alpha}$ a konečný segment ${displaystyle n}$ (konkrétněji, ${displaystyle n}$ bude pravděpodobně celé číslo kódování konečná počáteční sekvence).

Očekáváme následující, nazvané axiom otevřených dat, zadržet všechny nezákonné sekvence:

{displaystyle A (alfa) ightarrow existuje n [alfa v n, přistát, fora eta v n [A (eta)]]}

kde ${displaystyle A}$ je jednomístný predikát. Intuitivní zdůvodnění tohoto axiomu je následující: v intuicionistické matematice to ověříme ${displaystyle A}$ blokování sekvence ${displaystyle alpha}$ je uveden jako a postup; v kterémkoli bodě provádění tohoto postupu budeme zkoumat pouze konečný počáteční segment sekvence. Intuitivně tedy tento axiom říká, že od té doby, kdykoli to ověříme ${displaystyle A}$ drží ${displaystyle alpha}$ , pouze to ověříme ${displaystyle A}$ platí pro konečnou počáteční posloupnost ${displaystyle alpha}$ ; musí tomu tak být ${displaystyle A}$ platí také pro jakoukoli nezákonnou sekvenci ${displaystyle eta}$ sdílení této počáteční sekvence. Je tomu tak proto, že kdykoli v procesu ověřování ${displaystyle A (alfa)}$ , pro jakýkoli takový ${displaystyle eta}$ sdílení počáteční předpony ${displaystyle alpha}$ kódováno uživatelem ${displaystyle n}$ které jsme již prozkoumali, pokud spustíme stejný postup ${displaystyle eta}$ , získáme stejný výsledek. Axiom lze zobecnit pro jakýkoli predikát, který bere libovolný počet argumentů.

Pro protiprávní sekvence je vyžadován další axiom. The axiom hustoty, dána:

{displaystyle forall n, existuje alfa [alpha in n]}

uvádí, že pro každou konečnou předponu (kódovanou) ${displaystyle n}$ , existuje nějaká sekvence ${displaystyle alpha}$ počínaje touto předponou. Tento axiom požadujeme, abychom v sadě vybraných sekvencí neměli žádné „díry“. Tento axiom je důvodem, proč požadujeme, aby mohly být předem specifikovány libovolně dlouhé konečné konečné posloupnosti posloupností bez zákona; bez tohoto požadavku nemusí být axiom hustoty nutně zaručen.

Reference

Dummett, M. 1977. Prvky intuicionismu, Oxford University Press.
Jacquette, Dale. 2002. Společník filozofické logiky, Blackwell Publishing. p 517.
Kreisel, Georg. 1958. Poznámka k sekvencím svobodné volby a důkazům topologické úplnosti, Journal of Symbolic Logic volume 23. s. 269
Troelstra, A.S. 1977. Sekvence volby. Kapitola intuitivní matematiky. Clarendon Press.
Troelstra, A.S. 1983. Analýza sekvencí výběru, Journal of Philosophical Logic, 12: 2 str. 197.
Troelstra, A.S .; D. van Dalen. 1988. Konstruktivismus v matematice: Úvod. Severní Holandsko.