Změna vlákna - Change of fiber - Wikipedia

V algebraické topologii, vzhledem k fibrace str:E→B, změna vlákna je mapa mezi vlákny indukovaná cestami v B.

Vzhledem k tomu, krytina je fibrace, konstrukce zobecňuje odpovídající fakta v teorii pokrývající prostory.

Definice

Li β je cesta dovnitř B to začíná řekněme b, pak máme homotopii ${ displaystyle h: p ^ {- 1} (b) krát I to I { overet { beta} { to}} B}$ kde první mapa je projekce. Od té doby str je fibrace, podle homotopy zvedací vlastnost, h výtahy na homotopii ${ displaystyle g: p ^ {- 1} (b) krát I to E}$ s ${ displaystyle g_ {0}: p ^ {- 1} (b) hookrightarrow E}$. My máme:

${ displaystyle g_ {1}: p ^ {- 1} (b) až p ^ {- 1} ( beta (1))}$.

(Mohla by existovat nejednoznačnost a tak ${ displaystyle beta mapsto g_ {1}}$ nemusí být přesně definované.)

Nechat ${ displaystyle operatorname {Pc} (B)}$ označit množinu třídy cest v B. Tvrdíme, že stavba určuje mapu:

${ displaystyle tau: operatorname {Pc} (B) to}$ soubor tříd homotopy map.

Předpokládejme, že β, β 'jsou ve stejné třídě cesty; tedy existuje homotopie h od β do β '. Nechat

${ displaystyle K = I krát {0,1 } pohár {0 } krát I podmnožina I ^ {2}}$.

Když nakreslíme obrázek, existuje homeomorfismus ${ displaystyle I ^ {2} to I ^ {2}}$ který se omezuje na homeomorfismus ${ displaystyle K až I krát {0 }}$. Nechat ${ displaystyle f: p ^ {- 1} (b) krát K až E}$ být takový, že ${ displaystyle f (x, s, 0) = g (x, s)}$, ${ displaystyle f (x, s, 1) = g '(x, s)}$ a ${ displaystyle f (x, 0, t) = x}$.

Potom pomocí vlastnosti zvedání homotopy můžeme zvednout homotopii ${ displaystyle p ^ {- 1} (b) krát I ^ {2} na I ^ {2} { přesahující {h} { to}} B}$ na w takhle w omezuje na ${ displaystyle f}$. Zejména máme ${ displaystyle g_ {1} sim g_ {1} '}$, kterým se zakládá pohledávka.

Z konstrukce je zřejmé, že mapa je homomorfismus: pokud ${ displaystyle gamma (1) = beta (0)}$,

${ displaystyle tau ([c_ {b}]) = operatorname {id}, , tau ([ beta] cdot [ gamma]) = tau ([]] circ tau ( [ gamma])}$

kde ${ displaystyle c_ {b}}$ je konstantní cesta v b. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle tau ([ beta])}$ má inverzní. Proto můžeme vlastně říci:

${ displaystyle tau: operatorname {Pc} (B) to}$ soubor tříd homotopie ekvivalentů homotopie.

Také máme: pro každého b v B,

${ displaystyle tau: pi _ {1} (B, b) to}$ {[ƒ] | homotopická ekvivalence ${ displaystyle f: p ^ {- 1} (b) až p ^ {- 1} (b)}$ }

což je skupinový homomorfismus (pravá strana je jednoznačně skupina.) Jinými slovy, základní skupina B na b působí na vlákno znovu b, až po homotopii. Tato skutečnost je užitečnou náhradou za absenci strukturní skupina.

Následek

Jedním z důsledků stavby je níže:

• Vlákna z str přes komponentu cesty je homotopy ekvivalentní navzájem.

Reference

• James F. Davis, Paul Kirk, Poznámky k přednášce v algebraické topologii
• May, J. Stručný kurz v algebraické topologii