Chandrasekhar – Page rovnice - Chandrasekhar–Page equations - Wikipedia

Chandrasekhar – Page rovnice popsat vlnovou funkci roztočit-1/2 masivní částice, který vyústil v hledání oddělitelného řešení Diracova rovnice v Metrika Kerr nebo Metrika Kerr – Newman. V roce 1976 Subrahmanyan Chandrasekhar ukázal, že oddělitelný roztok lze získat z Diracova rovnice v Metrika Kerr.^[1] Později, Don Page rozšířil tuto práci na Metrika Kerr-Newman, to platí pro nabité černé díry.^[2] Page si ve svém příspěvku všiml, že N. Toop také odvodil své výsledky nezávisle, jak jej informoval Chandrasekhar.

Předpokládáním normálního režimu rozkladu formy ${ displaystyle e ^ {i ( omega t + m phi)}}$ pro čas a azimutální složku sférických polárních souřadnic ${ displaystyle (r, theta, phi)}$, Chandrasekhar ukázal, že čtyři bispinor komponenty lze vyjádřit jako součin radiálních a úhlových funkcí. Dvě radiální a úhlové funkce jsou označeny ${ displaystyle R _ {+ { frac {1} {2}}} (r)}$, ${ displaystyle R _ {- { frac {1} {2}}} (r)}$ a ${ displaystyle S _ {+ { frac {1} {2}}} ( theta)}$, ${ displaystyle S _ {- { frac {1} {2}}} ( theta)}$. Energie měřená v nekonečnu je ${ displaystyle omega}$ a axiální moment hybnosti je ${ displaystyle m}$ což je napůl celé číslo.

Chandrasekhar – Page úhlové rovnice

Úhlové funkce uspokojí spojené rovnice vlastních čísel,^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} S _ {+ { frac {1} {2}}} & = - ( lambda -a mu cos theta) S _ {- { frac {1} {2}}}, { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} S _ {- { frac {1} {2}}} & = + ( lambda + a mu cos theta) S _ {+ { frac {1} {2}}}, end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} theta}} + Q + { frac { cot theta} {2}}, quad { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} theta}} - Q + { frac { cot theta} {2}}}$

a ${ displaystyle Q = a omega sin theta + m csc theta}$. Tady ${ displaystyle a}$ je moment hybnosti na jednotku hmotnosti černé díry a ${ displaystyle mu}$ je odpočinková hmota částice. Eliminující ${ displaystyle S _ {+ 1/2} ( theta)}$ mezi výše uvedenými dvěma rovnicemi získá jedna

${ displaystyle left ({ mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} + { frac {a mu sin theta} { lambda + a mu cos theta}} { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} + lambda ^ {2} -a ^ {2} mu ^ {2} cos ^ {2} theta right) S _ {- { frac {1} {2}}} = 0.}$

Funkce ${ displaystyle S _ {+ { frac {1} {2}}}}$ splňuje adjunktní rovnici, kterou lze získat z výše uvedené rovnice nahrazením ${ displaystyle theta}$ s ${ displaystyle pi - theta}$. Okrajové podmínky pro tyto diferenciální rovnice druhého řádu jsou takové ${ displaystyle S _ {- { frac {1} {2}}}}$(a ${ displaystyle S _ {+ { frac {1} {2}}}}$) být pravidelný na ${ displaystyle theta = 0}$ a ${ displaystyle theta = pi}$. Problém vlastních čísel, který je zde uveden, obecně vyžaduje numerické integrace, aby mohl být vyřešen. Explicitní řešení jsou k dispozici pro případ, kdy ${ displaystyle omega = mu}$.^[4]

Reference