Chandrasekhars X- a Y-funkce - Chandrasekhars X- and Y-function - Wikipedia

V atmosférickém záření, Chandrasekhar X- a funkce Y. se jeví jako řešení problémů difuzní odraz a přenos, zavedený Indický Američan astrofyzik Subrahmanyan Chandrasekhar.^{[1][2][3][4][5]} Chandrasekharovi X- a Y-funkce ${ displaystyle X ( mu), Y ( mu)}$ definované v intervalu ${ displaystyle 0 leq mu leq 1}$, splňuje dvojici nelineárních integrálních rovnic

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X ( mu) & = 1+ mu int _ {0} ^ {1} { frac { Psi ( mu ')} { mu + mu'} } [X ( mu) X ( mu ') -Y ( mu) Y ( mu')] , d mu ', [5pt] Y ( mu) & = e ^ {- tau _ {1} / mu} + mu int _ {0} ^ {1} { frac { Psi ( mu ')} { mu - mu'}} [Y ( mu) X ( mu ') -X ( mu) Y ( mu')] , d mu ' end {zarovnáno}}}$

kde charakteristická funkce ${ displaystyle Psi ( mu)}$ je sudý polynom v ${ displaystyle mu}$ obecně splňující podmínku

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) , d mu leq { frac {1} {2}},}$

a ${ displaystyle 0 < tau _ {1} < infty}$ je optická tloušťka atmosféry. Pokud je ve výše uvedené podmínce splněna rovnost, je volána konzervativní případ, v opačném případě nekonzervativní. Tyto funkce souvisí s Chandrasekharova H-funkce tak jako

${ displaystyle X ( mu) rightarrow H ( mu), quad Y ( mu) rightarrow 0 { text {as}} tau _ {1} rightarrow infty}$

a také

${ displaystyle X ( mu) rightarrow 1, quad Y ( mu) rightarrow e ^ {- tau _ {1} / mu} { text {as}} tau _ {1} rightarrow 0.}$

Přiblížení

The ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ lze přiblížit až nobjednávka jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X ( mu) & = { frac {(-1) ^ {n}} { mu _ {1} cdots mu _ {n}}} { frac { 1} {[C_ {0} ^ {2} (0) -C_ {1} ^ {2} (0)] ^ {1/2}}} { frac {1} {W ( mu)}} [P (- mu) C_ {0} (- mu) -e ^ {- tau _ {1} / mu} P ( mu) C_ {1} ( mu)], [5 bodů ] Y ( mu) & = { frac {(-1) ^ {n}} { mu _ {1} cdots mu _ {n}}} { frac {1} {[C_ {0} ^ {2} (0) -C_ {1} ^ {2} (0)] ^ {1/2}}} { frac {1} {W ( mu)}} [e ^ {- tau _ {1} / mu} P ( mu) C_ {0} ( mu) -P (- mu) C_ {1} (- mu)] end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle C_ {0}}$ a ${ displaystyle C_ {1}}$ jsou dva základní polynomy řádu n (viz rovnice VIII kapitoly Chandrasekhar (97)^[6]), ${ displaystyle P ( mu) = prod _ {i = 1} ^ {n} ( mu - mu _ {i})}$ kde ${ displaystyle mu _ {i}}$ jsou nuly Legendární polynomy a ${ displaystyle W ( mu) = prod _ { alpha = 1} ^ {n} (1-k _ { alpha} ^ {2} mu ^ {2})}$, kde ${ displaystyle k _ { alpha}}$ jsou pozitivní, nemizející kořeny přidružené charakteristické rovnice

${ displaystyle 1 = 2 součet _ {j = 1} ^ {n} { frac {a_ {j} Psi ( mu _ {j})} {1-k ^ {2} mu _ {j } ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle a_ {j}}$ jsou kvadraturní váhy dané

${ displaystyle a_ {j} = { frac {1} {P_ {2n} '( mu _ {j})}} int _ {- 1} ^ {1} { frac {P_ {2n} ( mu _ {j})} { mu - mu _ {j}}} , d mu _ {j}}$

Vlastnosti

• Li ${ displaystyle X ( mu, tau _ {1}), Y ( mu, tau _ {1})}$ jsou řešení pro konkrétní hodnotu ${ displaystyle tau _ {1}}$, pak řešení pro další hodnoty ${ displaystyle tau _ {1}}$ jsou získány z následujících integro-diferenciální rovnice

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné X ( mu, tau _ {1})} { částečné tau _ {1}}} & = Y ( mu, tau _ { 1}) int _ {0} ^ {1} { frac {d mu '} { mu'}} Psi ( mu ') Y ( mu', tau _ {1}), { frac { částečné Y ( mu, tau _ {1})} { částečné tau _ {1}}} + { frac {Y ( mu, tau _ {1})} { mu}} & = X ( mu, tau _ {1}) int _ {0} ^ {1} { frac {d mu '} { mu'}} Psi ( mu ') Y ( mu ', tau _ {1}) end {zarovnáno}}}$

• ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} X ( mu) Psi ( mu) , d mu = 1- vlevo [1-2 int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) , d mu + left { int _ {0} ^ {1} Y ( mu) Psi ( mu) , d mu right } ^ {2} right ] ^ {1/2}.}$ V konzervativním případě se tato integrální vlastnost sníží na ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} [X ( mu) + Y ( mu)] Psi ( mu) , d mu = 1.}$
• Pokud jsou zkratky ${ displaystyle x_ {n} = int _ {0} ^ {1} X ( mu) Psi ( mu) mu ^ {n} , d mu, y_ {n} = int _ {0} ^ {1} Y ( mu) Psi ( mu) mu ^ {n} , d mu, alpha _ {n} = int _ {0} ^ {1} X ( mu) mu ^ {n} , d mu, beta _ {n} = int _ {0} ^ {1} Y ( mu) mu ^ {n} , d mu}$ pro stručnost jsou uvedeny, pak máme vztah, který uvádí ${ displaystyle (1-x_ {0}) x_ {2} + y_ {0} y_ {2} + { frac {1} {2}} (x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2}) = int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) mu ^ {2} , d mu.}$ U konzervativců se to snižuje na ${ displaystyle y_ {0} (x_ {2} + y_ {2}) + { frac {1} {2}} (x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2}) = int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) mu ^ {2} , d mu}$
• Pokud je charakteristická funkce ${ displaystyle Psi ( mu) = a + b mu ^ {2}}$, kde ${ displaystyle a, b}$ jsou dvě konstanty, pak máme ${ displaystyle alpha _ {0} = 1 + { frac {1} {2}} [a ( alpha _ {0} ^ {2} - beta _ {0} ^ {2}) + b ( alpha _ {1} ^ {2} - beta _ {1} ^ {2})]}$.
• V konzervativním případě nejsou řešení jedinečná. Li ${ displaystyle X ( mu), Y ( mu)}$ jsou řešení původní rovnice, tak jsou to i tyto dvě funkce ${ Displaystyle F ( mu) = X ( mu) + Q mu [X ( mu) + Y ( mu)], G ( mu) = Y ( mu) + Q mu [X ( mu) + Y ( mu)]}$, kde ${ displaystyle Q}$ je libovolná konstanta.

Viz také

• Chandrasekharova H-funkce

Reference