Chandrasekhars H-funkce - Chandrasekhars H-function - Wikipedia

Chandrasekhar H-funkce pro různé albedo

V atmosférickém záření, Chandrasekhar H-funkce se jeví jako řešení problémů zahrnujících rozptyl, které zavedla Indický Američan astrofyzik Subrahmanyan Chandrasekhar.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] Chandrasekharovi H-funkce ${ displaystyle H ( mu)}$ definované v intervalu ${ displaystyle 0 leq mu leq 1}$ , splňuje následující nelineární integrální rovnici

{ displaystyle H ( mu) = 1 + mu H ( mu) int _ {0} ^ {1} { frac { Psi ( mu ')} { mu + mu'}} H ( mu ') , d mu'}

kde charakteristická funkce ${ displaystyle Psi ( mu)}$ je sudý polynom v ${ displaystyle mu}$ splňující následující podmínku

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) , d mu leq { frac {1} {2}}}

.

Pokud je ve výše uvedené podmínce splněna rovnost, je volána konzervativní případ, v opačném případě nekonzervativní. Albedo darováno ${ displaystyle omega _ {o} = 2 Psi ( mu) = { text {stálá}}}$ . Alternativní forma, která by byla užitečnější pro výpočet H funkce numericky iterací byla odvozena Chandrasekhar as,

{ displaystyle { frac {1} {H ( mu)}} = doleva [1-2 int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) , d mu doprava] ^ { 1/2} + int _ {0} ^ {1} { frac { mu ' Psi ( mu')} { mu + mu '}} H ( mu') , d mu '}

.

V konzervativním případě se výše uvedená rovnice redukuje na

{ displaystyle { frac {1} {H ( mu)}} = int _ {0} ^ {1} { frac { mu ' Psi ( mu')} { mu + mu ' }} H ( mu ') d mu'}

.

Přiblížení

The H funkce lze aproximovat až na objednávku ${ displaystyle n}$ tak jako

{ displaystyle H ( mu) = { frac {1} { mu _ {1} cdots mu _ {n}}} { frac { prod _ {i = 1} ^ {n} ( mu + mu _ {i})} { prod _ { alpha} (1 + k _ { alpha} mu)}}}

kde ${ displaystyle mu _ {i}}$ jsou nuly Legendární polynomy ${ displaystyle P_ {2n}}$ a ${ displaystyle k _ { alpha}}$ jsou pozitivní, nemizející kořeny přidružené charakteristické rovnice

{ displaystyle 1 = 2 součet _ {j = 1} ^ {n} { frac {a_ {j} Psi ( mu _ {j})} {1-k ^ {2} mu _ {j } ^ {2}}}}

kde ${ displaystyle a_ {j}}$ jsou kvadraturní váhy dané

{ displaystyle a_ {j} = { frac {1} {P_ {2n} '( mu _ {j})}} int _ {- 1} ^ {1} { frac {P_ {2n} ( mu _ {j})} { mu - mu _ {j}}} , d mu _ {j}}

Výslovné řešení v komplexní rovině

Ve složité proměnné ${ displaystyle z}$ the H rovnice je

{ displaystyle H (z) = 1- int _ {0} ^ {1} { frac {z} {z + mu}} H ( mu) Psi ( mu) , d mu, quad int _ {0} ^ {1} | Psi ( mu) | , d mu leq { frac {1} {2}}, quad int _ {0} ^ { delta} | Psi ( mu) | , d mu rightarrow 0, delta rightarrow 0}

pak pro ${ displaystyle Re (z)> 0}$ , jedinečné řešení je dáno

{ displaystyle ln H (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {- i infty} ^ {+ i infty} ln T (w) { frac {z } {w ^ {2} -z ^ {2}}} , dw}

kde imaginární část funkce ${ displaystyle T (z)}$ může zmizet, pokud ${ displaystyle z ^ {2}}$ je skutečný, tj. ${ displaystyle z ^ {2} = u + iv = u (v = 0)}$ . Pak máme

{ displaystyle T (z) = 1-2 int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) , d mu -2 int _ {0} ^ {1} { frac { mu ^ {2} Psi ( mu)} {u- mu ^ {2}}} , d mu}

Výše uvedené řešení je jedinečné a v intervalu ohraničené ${ displaystyle 0 leq z leq 1}$ pro konzervativní případy. V nekonzervativních případech, pokud rovnice ${ displaystyle T (z) = 0}$ připouští kořeny ${ displaystyle pm 1 / k}$ , pak existuje další řešení dané

{ displaystyle H_ {1} (z) = H (z) { frac {1 + kz} {1-kz}}}

Vlastnosti

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} H ( mu) Psi ( mu) , d mu = 1- vlevo [1-2 int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) , d mu right] ^ {1/2}}$ . V konzervativním případě se to sníží na ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) d mu = { frac {1} {2}}}$ .
${ displaystyle left [1-2 int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) , d mu right] ^ {1/2} int _ {0} ^ {1} H ( mu) Psi ( mu) mu ^ {2} , d mu + { frac {1} {2}} left [ int _ {0} ^ {1} H ( mu) Psi ( mu) mu , d mu right] ^ {2} = int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) mu ^ {2} , d mu}$ . V konzervativním případě se to sníží na ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} H ( mu) Psi ( mu) mu d mu = vlevo [2 int _ {0} ^ {1} Psi ( mu) mu ^ {2} d mu right] ^ {1/2}}$ .
Pokud je charakteristická funkce ${ displaystyle Psi ( mu) = a + b mu ^ {2}}$ , kde ${ displaystyle a, b}$ jsou dvě konstanty (musí splňovat ${ displaystyle a + b / 3 leq 1/2}$ ) a pokud ${ displaystyle alpha _ {n} = int _ {0} ^ {1} H ( mu) mu ^ {n} , d mu, n geq 1}$ je n-tý okamžik H funkce, pak máme

{ displaystyle alpha _ {0} = 1 + { frac {1} {2}} (a alpha _ {0} ^ {2} + b alpha _ {1} ^ {2})}

a

{ displaystyle (a + b mu ^ {2}) int _ {0} ^ {1} { frac {H ( mu ')} { mu + mu'}} , d mu ' = { frac {H ( mu) -1} { mu H ( mu)}} - b ( alpha _ {1} - mu alpha _ {0})}

Viz také

Chandrasekharova funkce X a Y.

externí odkazy

Funkce MATLAB pro výpočet H funkce https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29333-chandrasekhar-s-h-function

Reference

^ Chandrasekhar, Subrahmanyan. Radiační přenos. Courier Corporation, 2013.
^ Howell, John R., M. Pinar Menguc a Robert Siegel. Přenos tepla tepelným zářením. CRC tisk, 2010.
^ Skromný, Michael F. Radiační přenos tepla. Akademický tisk, 2013.
^ Hottel, Hoyt Clarke a Adel F. Sarofim. Radiační přenos. McGraw-Hill, 1967.
^ Sparrow, Ephraim M. a Robert D. Cess. „Radiační přenos tepla.“ Series in Thermal and Fluids Engineering, New York: McGraw-Hill, 1978, Augmented ed. (1978).

[1] Chandrasekhar, Subrahmanyan. Radiační přenos. Courier Corporation, 2013.

[2] Howell, John R., M. Pinar Menguc a Robert Siegel. Přenos tepla tepelným zářením. CRC tisk, 2010.

[3] Skromný, Michael F. Radiační přenos tepla. Akademický tisk, 2013.

[4] Hottel, Hoyt Clarke a Adel F. Sarofim. Radiační přenos. McGraw-Hill, 1967.

[5] Sparrow, Ephraim M. a Robert D. Cess. „Radiační přenos tepla.“ Series in Thermal and Fluids Engineering, New York: McGraw-Hill, 1978, Augmented ed. (1978).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]