Řetězová sekvence - Chain sequence

V analytická teorie z pokračující zlomky, a řetězová sekvence je nekonečná sekvence {A_n} nezáporných reálných čísel zřetězených spolu s jinou posloupností {G_n} nezáporných reálných čísel pomocí rovnic

${displaystyle a_ {1} = (1-g_ {0}) g_ {1} quad a_ {2} = (1-g_ {1}) g_ {2} quad a_ {n} = (1-g_ {n- 1}) g_ {n}}$

kde buď (a) 0 ≤G_n <1 nebo (b) 0 <G_n ≤ 1. Řetězové sekvence vznikají při studiu konvergenční problém - obojí v souvislosti s věta o parabole, a také jako součást teorie pozitivní určitý pokračující zlomky.

Nekonečný pokračující zlomek Worpitzkyho věta obsahuje řetězovou sekvenci. Úzce související věta^[1] ukázat to

${displaystyle f (z) = {cfrac {a_ {1} z} {1+ {cfrac {a_ {2} z} {1+ {cfrac {a_ {3} z} {1+ {cfrac {a_ {4} z} {ddots}}}}}}}},}$

konverguje rovnoměrně na uzavřeném disku jednotky |z| ≤ 1, pokud jsou koeficienty {A_n} jsou řetězová sekvence.

Příklad

Sekvence {¼, ¼, ¼, ...} se objevuje jako limitující případ ve tvrzení Worpitzkyho věty. Protože tato sekvence je generována nastavením G₀ = G₁ = G₂ = ... = ½, je to jednoznačně řetězová sekvence. Tato posloupnost má dvě důležité vlastnosti.

• Od té doby F(X) = X − X² je maximum, když X = ½, tento příklad je „největší“ řetězová sekvence, kterou lze vygenerovat jediným generujícím prvkem; nebo přesněji, pokud {G_n} = {X}, a X <½, výsledná sekvence {A_n} bude nekonečné opakování reálného čísla y to je méně než ¼.
• Volba G_n = ½ není jedinou sadou generátorů pro tuto konkrétní sekvenci řetězce. Všimněte si toho nastavení

${displaystyle g_ {0} = 0quad g_ {1} = {extstyle {frac {1} {4}}} quad g_ {2} = {extstyle {frac {1} {3}}} quad g_ {3} = { extstyle {frac {3} {8}}}; tečky}$

generuje stejnou nekonečnou sekvenci {¼, ¼, ¼, ...}.

Poznámky

Reference

• H. S. Wall, Analytická teorie pokračujících zlomkůD. Van Nostrand Company, Inc., 1948; dotisk Chelsea Publishing Company, (1973), ISBN  0-8284-0207-8